Présentation
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RÉSUMÉ
L’analyse temporelle comprend les principales propriétés des systèmes sous leurs aspects temporels (comportements en fonction de la variable indépendante). Dans un premier temps, la notion de système est explicitée à travers quelques définitions et l’explication des systèmes linéaires SL et permanents SP est donnée. Par la suite, les réponses impulsionnelle et indicielle d’un SLP sont proposées, de même pour les représentations d’état et transmittance d’un SLP. Une étude de systèmes markoviens scalaires est longuement détaillée : système du premier ordre strictement propre, du premier ordre bipropre, du deuxième ordre, sans zéro, etc. Pour conclure, les systèmes à temps morts sont également abordés.
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Raymond HANUS : Directeur du Service d’Automatique et d’Analyse des Systèmes - Professeur à l’Université libre de Bruxelles – Université d’Europe
INTRODUCTION
Nous examinons sous le titre analyse temporelle les principales propriétés des systèmes sous leurs aspects temporels, c’est-à-dire leurs comportements en fonction de la variable indépendante appelée temps t. Cette présentation est centrée sur les systèmes markoviens continus, linéaires et permanents, et leurs extensions vers certains systèmes non markoviens, non linéaires ou évolutifs. Généralement, nous limitons notre étude aux systèmes scalaires, mais chaque fois que nous le pourrons, nous fournirons les correspondants matriciels, si ceux-ci ne se révèlent pas beaucoup plus compliqués que les premiers. Délibérément, nous restons silencieux quant aux systèmes échantillonnés. En effet, pour pouvoir dire quelque chose d’intelligent concernant le comportement temporel de tels systèmes, il y aurait lieu d’abord d’examiner en détail la théorie des systèmes discrets. Or, cette théorie nécessiterait à elle seule un dossier. D’où, notre parti pris de ne rien dire à ce sujet.
Enfin, nous avons essayé d’illustrer chaque notion mathématique par des applications pratiques prises dans le monde de l’ingénieur.
Cette analyse temporelle fait l’objet de deux dossiers : [S 7 150] Partie 1 et Partie 2.
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Réponses impulsionnelle et indicielle d’un SLP
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1. Notion de système
1.1 Définitions
La notion de système n’est pas facile à circonscrire. Il nous paraît plus simple de tenter d’aborder cette notion à partir de ses différents attributs. Ainsi, nous pouvons dire qu’un système est « quelque chose » qui transforme certaines grandeurs u i (t ), appelées grandeurs d’entrée, en certaines autres y j (t ), appelées grandeurs de sortie suivant le schéma de la figure 1. Cette définition est très générale. Les grandeurs d’entrée u i (t ) sont celles qui agissent sur le système, les grandeurs de sorties y j (t ) sont celles produites par le système. Nous pouvons donner un tableau de correspondances entre grandeurs d’entrée et grandeurs de sortie (tableau 1). L’ensemble des grandeurs d’entrée et celui des grandeurs de sortie ne suffisent en général pas à décrire le fonctionnement d’un système. Nous avons besoins d’un troisième ensemble appelé ensemble des grandeurs d’état. Celui-ci a pour objet de résumer tout l’historique du système. Toute sollicitation d’un système ne produit pas toujours la même réponse. Celle-ci dépend non seulement de la sollicitation en question mais également de l’état dans lequel se trouve le système. Nous pouvons également donner des synonymes de la notion d’état, tels variables internes, ou mémoire, ou historique, etc. Sous l’effet d’une sollicitation, le système va évoluer vers un nouvel état et produire une réponse correspondante. Si U représente l’ensemble des grandeurs d’entrée admissibles d’un système (u (t ) Î U), X l’ensemble de ses grandeurs d’état accessibles (x (t ) Î X) et Y l’ensemble des grandeurs de sortie correspondantes (y (t ) Î Y), un système se caractérise par deux fonctions, l’une f donnant l’évolution de l’état x (t ), l’autre g l’évolution de la sortie y (t ) :
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