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1 - APPROCHE PROBABILISTE DE L'INCERTAIN

2 - MODÈLE STOCHASTIQUE DES VARIABLES DE CONCEPTION

3 - MÉTHODE DE MONTE-CARLO

| Réf : BM5003 v1

Modèle stochastique des variables de conception
Approche probabiliste du dimensionnement - Modélisation de l'incertain et méthode de Monte-Carlo

Auteur(s) : Maurice LEMAIRE

Date de publication : 10 janv. 2008

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  • Maurice LEMAIRE : Professeur à l'Institut Français de Mécanique Avancée

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INTRODUCTION

L'art du concepteur consiste à proposer une solution technique qui satisfait aux exigences fonctionnelles et qui garantit la sécurité vis-à-vis des biens, des personnes et de l'environnement. Les exigences fonctionnelles doivent s'assurer du bon fonctionnement des systèmes considérés, et parmi celles-ci de la fiabilité, c'est-à-dire de l'aptitude d'un dispositif à accomplir une fonction requise dans des conditions données, pendant une durée donnée. Le rôle du concepteur est alors de dimensionner de manière optimale en justifiant une fiabilité suffisante en fonction des risques, c'est-à-dire des conséquences redoutées par l'occurrence d'un événement indésirable : une fiabilité absolue ne peut pas exister et il subsiste toujours une possibilité d'échec. On peut dire aujourd'hui que le principe de précaution ne consiste qu'en la démonstration que toutes les connaissances actuelles ont été mises en œuvre pour que le gain obtenu par le succès du dispositif soit suffisant pour accepter le coût de l'échec éventuel dû à son dysfonctionnement.

Ces quelques lignes situent le cadre de la démarche : elle propose une approche de la fiabilité théorique des systèmes mécaniques mais il faut noter qu'elle est susceptible d'applications dans bien d'autres domaines. Par fiabilité théorique, il faut comprendre tout ce que la modélisation permet de simuler pour prévoir les comportements possibles. Elle complète la fiabilité pratique qui est assimilée à la démarche qualité : la fiabilité théorique est conditionnée par la fiabilité pratique, par l'assurance qualité. Concevoir un système mécanique et calculer ses paramètres constituent une recherche d'un dimensionnement dont il faut justifier la fiabilité.

Ce dossier est divisé en deux articles. Le premier [BM 5 003] traite de la modélisation de l'incertain à travers les notions nécessaires de probabilités et de la statistique. Il vise à convaincre de la nécessité d'une approche probabiliste en conception mécanique et il est illustré par la méthode de Monte-Carlo. Le deuxième [BM 5 004] s'intéresse aux méthodes d'approximation résistance – contrainte, dont le schéma élémentaire est généralisé, et aux méthodes par indices de fiabilité. Il montre comment utiliser les résultats d'analyses mécano-fiabilistes comme aide à une conception fiable. Un exemple simple est mis en œuvre pour illustrer les concepts. Il ouvre enfin sur quelques perspectives.

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VERSIONS

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-bm5003


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2. Modèle stochastique des variables de conception

Ce paragraphe traite de la modélisation de l'incertain, c'est-à-dire de la représentation des variables de conception par des variables aléatoires. Elle définit ensuite les deux types d'analyse couplant mécanique et probabilité : l'analyse de sensibilité et l'analyse de fiabilité.

2.1 Modèle stochastique

Chaque variable X est considérée comme une variable aléatoire à laquelle il faut associer une densité de probabilité fX (). Il est également nécessaire de prendre en compte la dépendance entre les variables.

HAUT DE PAGE

2.1.1 Modèle stochastique d'une variable

Le modèle stochastique d'une variable est construit avec l'information disponible.

  • Informations d'expertise a priori

    Ce sont :

    • les bornes extrêmes de la distribution xmin et xmax , en n'oubliant pas qu'elles peuvent être elles-mêmes des variables aléatoires. À cette information peut être associée une distribution uniforme dont la densité et la fonction de répartition s'écrivent :

      ( 8 )
    • la distribution uniforme qui est la mieux adaptée à l'information la plus réduite (principe du maximum d'entropie) ;

    • la valeur modale xmod qui correspond au maximum de la densité de probabilité. Combinant cette information avec la connaissance des bornes, on obtient une forme générale d'une densité de probabilité selon la représentation de la figure ...

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