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Auteur(s)
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Maurice LEMAIRE : Professeur à l'Institut Français de Mécanique Avancée
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Lire l’articleINTRODUCTION
L'art du concepteur consiste à proposer une solution technique qui satisfait aux exigences fonctionnelles et qui garantit la sécurité vis-à-vis des biens, des personnes et de l'environnement. Les exigences fonctionnelles doivent s'assurer du bon fonctionnement des systèmes considérés, et parmi celles-ci de la fiabilité, c'est-à-dire de l'aptitude d'un dispositif à accomplir une fonction requise dans des conditions données, pendant une durée donnée. Le rôle du concepteur est alors de dimensionner de manière optimale en justifiant une fiabilité suffisante en fonction des risques, c'est-à-dire des conséquences redoutées par l'occurrence d'un événement indésirable : une fiabilité absolue ne peut pas exister et il subsiste toujours une possibilité d'échec. On peut dire aujourd'hui que le principe de précaution ne consiste qu'en la démonstration que toutes les connaissances actuelles ont été mises en œuvre pour que le gain obtenu par le succès du dispositif soit suffisant pour accepter le coût de l'échec éventuel dû à son dysfonctionnement.
Ces quelques lignes situent le cadre de la démarche : elle propose une approche de la fiabilité théorique des systèmes mécaniques mais il faut noter qu'elle est susceptible d'applications dans bien d'autres domaines. Par fiabilité théorique, il faut comprendre tout ce que la modélisation permet de simuler pour prévoir les comportements possibles. Elle complète la fiabilité pratique qui est assimilée à la démarche qualité : la fiabilité théorique est conditionnée par la fiabilité pratique, par l'assurance qualité. Concevoir un système mécanique et calculer ses paramètres constituent une recherche d'un dimensionnement dont il faut justifier la fiabilité.
Ce dossier est divisé en deux articles. Le premier [BM 5 003] traite de la modélisation de l'incertain à travers les notions nécessaires de probabilités et de la statistique. Il vise à convaincre de la nécessité d'une approche probabiliste en conception mécanique et il est illustré par la méthode de Monte-Carlo. Le deuxième [BM 5 004] s'intéresse aux méthodes d'approximation résistance – contrainte, dont le schéma élémentaire est généralisé, et aux méthodes par indices de fiabilité. Il montre comment utiliser les résultats d'analyses mécano-fiabilistes comme aide à une conception fiable. Un exemple simple est mis en œuvre pour illustrer les concepts. Il ouvre enfin sur quelques perspectives.
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- Version courante de avr. 2014 par Maurice LEMAIRE
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Approche probabiliste de l'incertain3. Méthode de Monte-Carlo
La méthode de Monte-Carlo constitue une approche simple, mais pas nécessairement efficace, consistant à simuler les variables aléatoires. Cette partie présente tout d'abord la génération de nombres pseudo-aléatoires puis sa mise en œuvre pour les analyses de sensibilité et de fiabilité. Elle est illustrée par l'exemple des deux barres.
3.1 Échantillon d'une variable aléatoire de loi donnée
3.1.1 Nombres pseudo-aléatoires uniformes
Une suite ui de nombres pseudo-aléatoires uniformes est un échantillon uniformément distribué sur un intervalle, en général [0, 1[. Le processus est initié par une semence u 0 . Chaque semence engendre une suite déterministe, d'où l'expression de nombres pseudo-aléatoires, mais le choix de la semence peut être confié à un aléa : par exemple à partir des secondes de l'horloge du calculateur. La plupart des logiciels de calcul et même certaines calculettes possèdent une fonction de génération sous les noms RANDOM, RND, RAN, ALÉATOIRE...
De part sa construction mathématique, un générateur possède certaines propriétés :
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périodicité : le codage numérique est effectué sur un nombre fini de bits et trouver la période p tel que : ui + p = ui est possible. Il est bien sûr nécessaire de disposer d'un générateur dont la période est largement supérieure à la taille de l'échantillon. La période du générateur « Mersenne Twister » de Matsumoto et Nishimura est 219 937 – 1 .
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indépendance...
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