Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Un assistant de preuve est un logiciel interactif permettant à son utilisateur de construire des démonstrations de façon semi-automatique, tout en garantissant la correction de ces démonstrations. Ce type d'outil est utile à la vérification de logiciel critique. Cet article présente Coq, assistant de preuve développé en coordination avec l’Inria, à travers un exemple de vérification d'une fonction de tri. Ensuite sont décrits quelques domaines d'applications, notamment la sûreté du logiciel et la recherche en informatique et en mathématiques. Coq est considéré comme un des outils les plus fiables pour la validation du logiciel, ce qui s’explique par les fondements théoriques de cet outil et son évolution depuis plus de 30 ans de recherche et de développement.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Sandrine Blazy : Université de Rennes 1, IRiSA, CNRS
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Pierre Castéran : Univ. Bordeaux, LaBRI, CNRS, INP Bordeaux
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Hugo Herbelin : Chercheur Inria Paris
INTRODUCTION
Face à l’importance croissante des composants informatiques – logiciels et matériels – dans des domaines critiques aussi divers que transports, énergie, santé, finance, etc., le besoin de composants sûrs se fait de plus en plus impérieux.
Par exemple, l’exécution d’un programme doit se faire sans erreur dans les conditions d’application prévues : absence d’erreur à l’exécution ou de bouclage non désiré, conformité à une spécification fonctionnelle.
Or nous savons, depuis Turing , qu’aucun algorithme ne peut automatiquement prendre en donnée un programme quelconque et rendre en un temps fini un diagnostic de correction. Par conséquent, seule une partie de la tâche de certification d’un logiciel peut être automatisée. Pour le reste, on peut recourir à des outils interactifs, où la preuve – souvent complexe – de correction doit être guidée par l’utilisateur.
Les assistants de preuve sont des logiciels interactifs permettant à leur utilisateur de prouver des théorèmes en le déchargeant des tâches fastidieuses et susceptibles d’être entachées d’erreurs. Outre cette fonction d’assistance à l’écriture de démonstrations, ces logiciels vérifient que toutes les preuves construites sont complètes et respectent toutes les lois de la logique.
Par « théorème », nous entendons toute sorte d’énoncé concernant soit le domaine mathématique, soit le comportement de programmes écrits dans un langage donné. Citons deux exemples, prouvés en Coq :
« Toute carte planaire peut être coloriée avec au plus quatre couleurs. »
Le compilateur CompCert garantit que tout code exécutable qu’il génère se comporte exactement comme le programme source C dont il est issu .
Coq est un logiciel puissant et complexe, en constante évolution. Dans cet article, nous proposons en première partie une introduction sur un exemple très simple de preuve d’un petit programme fonctionnel. Une deuxième partie présente quelques applications de taille réelle. Nous terminerons par des indications sur l’apprentissage de Coq et des précisions sur l’évolution de cet outil.
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Applications principales
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1. Exemple de développement en Coq : preuve de correction d’un algorithme simple
La preuve de correction d’un programme fonctionnel simple nous permet de présenter quelques aspects essentiels du logiciel Coq : énoncés mathématiques et spécification formelle de programmes, outils pour la preuve interactive, etc. L’exemple proposé consiste en la définition d’une fonction de tri sur les listes, accompagnée d’une preuve formelle de sa correction.
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Conventions typographiques
Nous adoptons les conventions suivantes afin que le lecteur puisse facilement reconnaître quel texte un utilisateur doit soumettre à Coq et quelles sont les réponses du système.
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Le texte soumis à Coq est écrit dans des encarts bleu clair.
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Les réponses de Coq sont présentées en italique dans des encarts cyannés.
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Les expressions composées placées dans le texte de l’article sont entourées de parenthèses, comme (9 + 4), afin d’en améliorer la lisibilité. Ces parenthèses ne font pas partie du texte Coq.
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1.1 Établissement d’un contexte de travail
L’assistant de preuve Coq est accompagné d’une vaste bibliothèque standard comportant entre autres la définition de constructions usuelles : types de données, notions mathématiques et logiques de base, etc. On peut la consulter depuis l’onglet Documentation du site du logiciel .
Dans notre exemple, nous utiliserons le module sur les listes et celui sur les chaînes de caractères. La commande Require Import permet de charger ces modules et ainsi de bénéficier d’une base de fonctions et de propriétés élémentaires en lien avec ces structures de données.
Require Import List String.
Quelques lignes de commande nous permettent de disposer d’une syntaxe simple à la OCaml ...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - * - The CompCert compiler. http://compcert.inria.fr.
-
(2) - * - OCaml page. http://www.ocaml.org/.
-
(3) - * - Page of the ACM Software System Award. http://awards.acm.org/software_system.
-
(4) - APPEL (A.W.), DOCKINS (R.), HOBOR (A.), BERINGER (L.), DODDS (J.), STEWART (G.), BLAZY (S.), LEROY (X.) - Program logics for certified compilers. - Cambridge University Press, 2014.
-
(5) - BARTHE (G.), GRÉGOIRE (B.), HERAUD (S.), ZANELLA-BÉGUELIN (S.) - - Computer-aided security proofs for the working cryptographer. In Advances in Cryptology – CRYPTO 2011, volume 6841 of Lecture Notes in Computer Science, pages 71–90. Springer, 2011.
-
(6) - BELNA (J.P.) - Histoire de la logique. - Ellipses, 2014.
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