Processus de Poisson
Probabilités - Présentation

Une propriété fondamentale du mouvement brownien est la propriété de Markov, à savoir que la prédiction de l’état du processus à un instant t, conditionnellement à la connaissance de son passé jusqu’à un temps s , ne dépend que de l’état du système au temps s.

De nombreux processus autres que le mouvement brownien, et dont on peut décrire la forme générale, satisfont à cette propriété ; on les appelle des processus de Markov. Ils modélisent de nombreux phénomènes de la vie courante, en particulier des phénomènes discontinus, tels par exemple l’évolution d’une population de particules qui subit des chocs (boules de billards, molécules d’un gaz), l’évolution du taux d’occupation d’une ligne dans un central téléphonique, l’évolution d’une file d’attente face à un ou plusieurs serveurs.

Le prototype des processus markoviens de saut s’appelle le processus de Poisson et est fondamental pour la modélisation de tous ces phénomènes. Il modélise en fait des répartitions aléatoires de points sur , qui peuvent correspondre aux instants de collision des particules, mais aussi aux instants d’arrivée de clients dans une file d’attente ou d’arrivée d’appels dans un central télépho-nique. Comme le mouvement brownien, c’est un processus à accroissements indépendants et stationnaires, mais il est paramétré par un réel positif λ, et ces accroissements sont alors des variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre λ. Les trajectoires de ce processus ne sont pas continues, mais continues à droite et limitées à gauche.

Depuis les années 1970, un calcul stochastique par rapport à ce processus a été développé (principalement par Meyer [7]), permettant ainsi de généraliser la définition des équations différentielles stochastiques : la perturbation aléatoire peut faire intervenir un terme continu sous la forme d’une intégrale stochastique par rapport à un mouvement brownien, mais aussi un terme discontinu sous la...