Importance du mouvement brownien
Probabilités - Présentation

Historiquement, le mouvement brownien est associé à l’analyse de mouvements qui évoluent au cours du temps de manière si désordonnée qu’il semble difficile de prévoir leur évolution, même dans un intervalle de temps très court. Il joue un rôle central dans la théorie des processus aléatoires, notamment parce que dans de nombreux problèmes théoriques ou appliqués, le mouvement brownien ou les diffusions que l’on en déduit fournissent des modèles limites simples sur lesquels de nombreux calculs peuvent être menés.

Robert Brown, botaniste anglais, décrit en 1827 le mouvement erratique de fines particules organiques en suspension dans un gaz ou un fluide [1]. Au XIX^e siècle, plusieurs physiciens reconnaissent ensuite que ce mouvement est très irrégulier et ne semble pas admettre de tangente ; on ne pourrait donc pas parler de sa vitesse, ni a fortiori lui appliquer les lois de la mécanique.

En 1900, Bachelier introduit le mouvement brownien pour modéliser la dynamique du prix des actions à la Bourse, mais sa démarche est ensuite oubliée jusque vers les années 1960.

En 1905, Einstein [2] construit un modèle probabiliste pour décrire le mouvement d’une particule qui diffuse. Il trouve que la loi de la position à l’instant t de la particule, sachant que l’état initial est x, admet une densité qui vérifie l’équation de la chaleur et de ce fait est gaussienne. Sa théorie sera rapidement confortée par des mesures expérimentales de constantes de diffusion satisfaisantes. Le physicien polonais Smoluchowski décrit à la même époque le mouvement brownien comme limite de promenades aléatoires. Ensuite, Wiener en 1923 construit rigoureusement la fonction aléatoire du mouvement brownien et établit en particulier que ses trajectoires sont continues.

• Ces découvertes restent toutefois à l’écart de l’optique générale des physiciens et mathématiciens qui prévaut jusqu’au milieu du XX^e siècle. La démarche scientifique classique consiste alors à définir une ou plusieurs grandeurs macroscopiques, à appliquer ensuite certaines lois de la physique au niveau microscopique, puis à analyser d’un point de vue mathématique les équations qui en découlent. Ainsi, les objets mathématiques utilisés sont réguliers et, avant qu’un cadre rigoureux n’ait été établi pour les phénomènes aléatoires,...