Problèmes inverses bien ou mal posés et outils de diagnostic
Techniques inverses et estimation de paramètres. Partie 2

Cans le précédent dossier [AF 4 515], le contexte de la mise en œuvre des techniques inverses a été présenté, en termes d'objectifs de l'utilisateur et de méthodologies correspondantes. Le problème de l'estimation de paramètres, ou de l'estimation d'une fonction préalablement paramétrisée, d'un modèle dynamique linéraire a été étudié. L'accent a été mis sur les notions de coefficients de sensibilité et de propagation du bruit de mesure considéré comme la réalisation d'une variable aléatoire. Enfin, nous avons traité le même type de problème d'inversion de mesures dans le cas d'un modèle non linéaire, mais toujours en dimensions finies. Différentes méthodes performantes de minimisation d'un critère d'écart, basées sur les coefficients de sensibilité, ont été présentées.

Dans ce dossier, nous revenons tout d'abord sur les notions de problème inverse bien ou mal posé , en dégageant des approches et des outils destinés à mieux caractériser cet aspect de l'inversion. Cela passe par une nécessaire quantification du degré de gravité de ce caractère (« mauvaise pose ») à l'aide de l'adoption d'un ou plusieurs critères. Nous mettons ensuite en évidence six causes possibles d'erreur d'estimation. Ces causes dépassent le seul aspect mathématique du problème considéré. Des outils de diagnostic de la qualité de l'inversion sont alors proposés.

La notion de régularisation d'un problème inverse mal posé , avec le nécessaire compromis entre dispersion et biais de l'estimateur, est ensuite introduite. Quelques méthodes populaires de régularisation sont alors présentées. Elles sont appliquées et comparées sur un même exemple.

Nous introduisons également l'approche bayésienne, permettant l'apport d'informations additionnelles externes plus ou moins précises à l'inversion de mesures. Enfin une méthode particulière de réduction de modèle par identification est ensuite présentée. Elle s'appuie sur des données d'entrées et de sorties obtenues soit par des mesures, soit par des simulations issues d'un modèle détaillé de référence. Le premier cas correspond à la construction expérimentale de modèle, procédure qui peut s'apparenter à la calibration d'un système. Le second cas correspond à la mise en œuvre d'une technique de réduction de modèle qui s'appuie sur un principe de parcimonie permettant de relier de façon synthétique uniquement les entrées et les sorties utiles. Dans les deux cas, le modèle réduit construit peut être ensuite utilisé pour estimer des entrées à partir de sorties.