Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Les techniques inverses sont définies comme des méthodes permettant de découvrir des causes et des grandeurs inconnues, et ce grâce à l’observation des conséquences d’un problème. Elles sont appelée ainsi en opposition aux techniques dites “directes”. La terminologie est tout d’abord détaillée, puis les problèmes inverses sont expliqués. Le point de vue de l’inverseur est envisagé afin d’étudier les différentes techniques inverses (inversion d’un modèle linéaire puis inversion d'un modèle non linéaire).
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Through the observation of the consequences of a problem, inverse methods are defined as methods which allow for discovering causes and unknown measurable variables. They are thus named in opposition to the so called "direct" methods. The terminology is firstly detailed and inverse problems are then explained. The point of view of the user of the inverse method is then envisaged in order to study the various inverse methods (linear-model inversion and non-linear model inversion).
Auteur(s)
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Daniel PETIT : Professeur à l'École nationale supérieure de mécanique et d'aérotechnique ENSMA - Laboratoire d'Études Thermiques LET, UMR CNRS 6608
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Denis MAILLET : Professeur à l'Institut national polytechnique de Lorraine INPL - Laboratoire d'énergétique et de mécanique théorique et appliquée LEMTA, Nancy Université & CNRS
INTRODUCTION
On définit les techniques inverses comme des méthodes permettant de remonter à des causes ou à des grandeurs d'influence inconnues à partir de l'observation de leurs conséquences. Par leur appellation, elles s'opposent aux méthodes « directes ».
Il est possible d'illustrer la différence entre méthode directe et méthode inverse en prenant un exemple en mécanique : on sait calculer la vitesse à un instant quelconque d'un point matériel de masse m soumis à une force connue si ses position et vitesse initiales sont données (c'est le problème direct). Un des problèmes inverses correspondant s'énonce ainsi : à partir de la mesure des positions (ou des vitesses) de ce point matériel, comment « remonter » à la force qui l'a mis en mouvement ?
Ces méthodes de résolution des problèmes inverses et leurs applications sont actuellement en plein développement dans différents secteurs de la physique. Des outils génériques existent, transverses à tous les domaines, ainsi que des méthodologies appropriées, qui vont au-delà du seul formalisme mathématique. Celles-ci permettent de revisiter la relation expérience-modèle.
Nous allons aborder ici les techniques inverses en adoptant le point de vue de l'objectif de l' inverseur. En effet, c'est celui-ci qui va dicter sa démarche. Cette approche a été développée dans la communauté des thermiciens, voir notamment les travaux [8] Techniques inverses et estimation de paramètres[9] du Groupe METTI de la Société Française de Thermique.
Ces techniques inverses font l'objet de deux dossiers [AF 4 515] et Techniques inverses et estimation de paramètres. Partie 2[AF 4 516] qui ne sont pas indépendants l'un de l'autre. Le lecteur trouvera en [Doc. AF 4 516] les références bibliographiques.
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Problèmes inverses et terminologie
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1. Contexte
Considérons l'environnement du physicien ou de l'ingénieur. Il est manifeste que l'un des objectifs de ce dernier est de mieux comprendre le monde qui l'entoure afin notamment de mieux le maîtriser. Il est donc naturellement enclin à construire des modèles pour représenter la réalité. Les modèles de connaissance occupent une place de choix dans l'éventail des représentations disponibles.
ainsi, le thermicien est amené à résoudre, à l'aide d'une méthode analytique ou numérique, une équation aux dérivées partielles, l'équation de la diffusion de la chaleur, en se donnant à la fois les conditions initiales et aux limites nécessaires à sa résolution. Il suppose de même parfaitement connues les différentes grandeurs, les « données », intervenant dans le problème (conductivités et capacités thermiques, champ de température initial, excitation...).
Cette démarche, celle de la résolution d'un problème qualifié plus haut de « direct », souvent matérialisée par la construction d'un code de calcul, est favorisée par l'important développement des moyens de calcul scientifique ces dernières années. Cependant, il est nécessaire d'alimenter le modèle par de nombreuses données. Ces dernières sont généralement identifiées, dans une configuration différente de l'étude en cours, à partir d'une expérimentation et d'un modèle en mode cette fois-ci « inverse » : l'objectif de l'expérimentateur est alors d'extraire des informations sur un système à partir de données mesurées, en association avec le modèle décrivant le comportement du système. On aborde alors le domaine de l'identification et de l'estimation de paramètres.
Si dans de nombreuses configurations, ces identifications n'offrent pas (ou peu) de difficultés, la mise en œuvre de techniques inverses devient nécessaire dès que le problème devient mathématiquement « mal posé » (cette notion est développée plus loin). Ce type de difficulté apparaît notamment lorsque, pour une raison de métrologie, un capteur est situé « loin » du phénomène qu'il doit analyser.
L'association de l'expérimentation et du modèle permet donc de « remonter » à une ou plusieurs inconnues de ce système. Cette démarche d'estimation,...
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