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RÉSUMÉ
Les techniques inverses sont définies comme des méthodes permettant de découvrir des causes et des grandeurs inconnues, et ce grâce à l’observation des conséquences d’un problème. Elles sont appelée ainsi en opposition aux techniques dites “directes”. La terminologie est tout d’abord détaillée, puis les problèmes inverses sont expliqués. Le point de vue de l’inverseur est envisagé afin d’étudier les différentes techniques inverses (inversion d’un modèle linéaire puis inversion d'un modèle non linéaire).
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Through the observation of the consequences of a problem, inverse methods are defined as methods which allow for discovering causes and unknown measurable variables. They are thus named in opposition to the so called "direct" methods. The terminology is firstly detailed and inverse problems are then explained. The point of view of the user of the inverse method is then envisaged in order to study the various inverse methods (linear-model inversion and non-linear model inversion).
Auteur(s)
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Daniel PETIT : Professeur à l'École nationale supérieure de mécanique et d'aérotechnique ENSMA - Laboratoire d'Études Thermiques LET, UMR CNRS 6608
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Denis MAILLET : Professeur à l'Institut national polytechnique de Lorraine INPL - Laboratoire d'énergétique et de mécanique théorique et appliquée LEMTA, Nancy Université & CNRS
INTRODUCTION
On définit les techniques inverses comme des méthodes permettant de remonter à des causes ou à des grandeurs d'influence inconnues à partir de l'observation de leurs conséquences. Par leur appellation, elles s'opposent aux méthodes « directes ».
Il est possible d'illustrer la différence entre méthode directe et méthode inverse en prenant un exemple en mécanique : on sait calculer la vitesse à un instant quelconque d'un point matériel de masse m soumis à une force connue si ses position et vitesse initiales sont données (c'est le problème direct). Un des problèmes inverses correspondant s'énonce ainsi : à partir de la mesure des positions (ou des vitesses) de ce point matériel, comment « remonter » à la force qui l'a mis en mouvement ?
Ces méthodes de résolution des problèmes inverses et leurs applications sont actuellement en plein développement dans différents secteurs de la physique. Des outils génériques existent, transverses à tous les domaines, ainsi que des méthodologies appropriées, qui vont au-delà du seul formalisme mathématique. Celles-ci permettent de revisiter la relation expérience-modèle.
Nous allons aborder ici les techniques inverses en adoptant le point de vue de l'objectif de l' inverseur. En effet, c'est celui-ci qui va dicter sa démarche. Cette approche a été développée dans la communauté des thermiciens, voir notamment les travaux [8] Techniques inverses et estimation de paramètres[9] du Groupe METTI de la Société Française de Thermique.
Ces techniques inverses font l'objet de deux dossiers [AF 4 515] et Techniques inverses et estimation de paramètres. Partie 2[AF 4 516] qui ne sont pas indépendants l'un de l'autre. Le lecteur trouvera en [Doc. AF 4 516] les références bibliographiques.
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Inversion d'un modèle linéaire : cas de l'estimation en dimensions finies
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2. Problèmes inverses et terminologie
2.1 Système physique, modèle, problème direct, problèmes inverses
La notion de modèle est très générale. On peut dire que l'on a modélisé un système si l'on est capable de prédire son comportement sous l'effet d'un stimulus connu. Nous nous plaçons ici dans le cadre d'un système matériel et non dans celui d'un système d'information. Le modélisateur va chercher à représenter le système physique réel par un modèle M, modèle qui sert ensuite à simuler le comportement de ce dernier. Ce modèle dépend d'un certain nombre de grandeurs de structure, que l'on range ici dans un vecteur
Ainsi, sous l'action d'une excitation sur le système (un stimulus u (t), variant avec le temps t), le système et son modèle doivent répondre idéalement de la même façon, leurs réponses respectives s'écrivant y (t) et
(figure 1).
La modélisation est donc indispensable avant toute simulation du comportement du système et ce, quelle que soit l'application visée (cf. § 2.4).
En utilisant la terminologie de l'automatique, ce stimulus est appelé « entrée » et la réponse « sortie », ces termes n'étant pas ici associés à une notion de géométrie. Ce stimulus est causé soit par l'imposition d'une action de l'extérieur sur la frontière du système (cas par exemple d'une force en mécanique ou d'un flux thermique en transfert de chaleur), soit par une action à distance s'exerçant à l'intérieur du système (cas du champ de la pesanteur en mécanique ou d'un effet joule ou d'une réaction chimique...
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