Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Depuis plusieurs décennies maintenant, l’ordinateur effectue un nombre important d’opérations arithmétiques dans le domaine des sciences et des techniques, ainsi que dans beaucoup de nos activités quotidiennes. Malgré l’aide précieuse apportée, le problème des approximations reste bien réel. En effet, toute valeur numérique ne peut y être représentée qu'avec un nombre fini de chiffres, et doit donc être arrondie, sans compter même les incertitudes dues aux appareils de mesure. Cet article présente tout d’abord l'arithmétique des ordinateurs et ses conséquences en calcul scientifique, pour s’intéresser ensuite aux méthodes d'estimation des bornes de la propagation des erreurs d'arrondi.
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Jean VIGNES : Professeur émérite de l'université Pierre et Marie Curie
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René ALT : Professeur émérite de l'université Pierre et Marie Curie
INTRODUCTION
L'ordinateur est actuellement utilisé dans la quasi totalité des sciences et des techniques, ainsi que dans beaucoup de nos activités quotidiennes. Cependant, il ne faut pas oublier que le but premier de ces machines était de pouvoir faire automatiquement des calculs numériques. Ils sont les successeurs des bouliers et des machines à calculer mécaniques, puis électriques, et sont en cela le résultat de l'association de l'électronique et des techniques de calcul anciennes et bien connues. Ainsi, les tout premiers ordinateurs pouvaient déjà, grâce à la rapidité d'exécution qu'apporte l'électronique, effectuer en un temps raisonnable un nombre important d'opérations arithmétiques.
Mais, sur ordinateur, toute valeur numérique ne peut être représentée qu'avec un nombre fini de chiffres. De ce fait, toute donnée ou résultat fourni par les opérations arithmétiques doit être arrondi, c'est-à-dire remplacé par une valeur proche représentable exactement. Ainsi, au niveau de chaque opération arithmétique, une erreur d'arrondi est générée, certes très faible, mais qui, tout au long des calculs, va se propager en affectant tous les résultats.
De plus, il est fréquent que les données mises en jeu dans le programme de calcul soient issues d'appareils de mesure (capteurs) et se trouvent donc entachées d'incertitudes dues à ces appareils. Il est également indispensable de pouvoir évaluer l'influence de ces incertitudes sur les résultats fournis par l'ordinateur.
Dans le chapitre , l'arithmétique des ordinateurs est présentée et les conséquences qu'elle engendre sont mises en évidence à l'aide d'exemples. Le chapitre est consacré aux méthodes déterministes d'estimation des bornes (majorantes) de la propagation des erreurs d'arrondi. L'analyse régressive est particulièrement intéressante pour étudier la stabilité des algorithmes. Cependant, elle nécessite une étude détaillée de chaque algorithme étudié.
L'arithmétique d'intervalles permet de calculer un intervalle contenant certainement la solution exacte du problème étudié, mais nécessite généralement une reformulation de l'algorithme si l'on ne veut pas trouver un intervalle beaucoup trop pessimiste.
Les autres aspects, notamment l'approche stochastique de la propagation des erreurs, à travers la méthode CESTAC, ainsi que l'apport du logiciel CADNA, seront étudiés dans le dossier qui lui fait suite, [AF 1 471].
Enfin, le lecteur trouvera une imposante bibliographie et des sites web recommandés dans la partie documentaire, le dossier [Doc. AF 1 470].
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Conséquences de l'arithmétique des ordinateurs en calcul scientifique
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1. Question d'« arrondi »
Dès l'apparition des premiers ordinateurs et grâce à leur grande vitesse de calcul, des problèmes qui, jadis, nécessitaient un nombre important d'opérations arithmétiques pouvaient être résolus. Mais, déjà, les utilisateurs se posaient la question suivante : « À la fin d'une longue séquence de calculs sur ordinateur, à cause de la propagation des erreurs d'arrondi, le résultat obtenu est-il significatif ? »
En 1946, Von Neumann effectua sur l'ordinateur IBM SSEC (Selective Sequence Electronic Calculator) des calcul sur la turbulence. Ce fut un échec à cause de la propagation des erreurs d'arrondi. Il en conclut que l'ordinateur ne pourrait jamais servir pour le calcul scientifique.
Mais des travaux ultérieurs (Von Neumann et Goldstine, 1947) sur le calcul de l'inverse d'une matrice définie positive par la méthode de Gauss mirent en évidence que la propagation des erreurs d'arrondi n'était pas aussi catastrophique que ce que l'on craignait. Les utilisateurs furent alors rassurés et, même beaucoup trop rassurés, puisqu'ils ont tendance à considérer qu'elle est négligeable, ce qui est évidemment tout à fait faux.
Certains utilisateurs pensent tester la fiabilité des résultats en faisant exécuter leur programme en simple, puis en double précision. Dans le cas où les premiers chiffres des résultats en simple et en double précision sont les mêmes, ils en déduisent que leurs résultats sont corrects et fiables, ce qui, hélas, est peut-être tout à fait faux.
De plus, l'ordinateur est devenu, pour tout scientifique et tout ingénieur, un simple outil de laboratoire qui est le seul à être d'une reproductibilité absolue. En effet, un même programme exécuté k fois avec les mêmes données sur un même ordinateur ou même, depuis la standardisation de l'arithmétique à virgule flottante, sur des ordinateurs différents produira k fois les mêmes résultats. Ce déterminisme absolu, cette reproductibilité rigoureuse, donne l'illusion d'une grande sécurité.
En fait, il ne s'agit là que d'une sécurité apparente, d'une fausse sécurité, car cette insidieuse propagation des erreurs d'arrondi a pu conduire à ce que le même résultat imperturbablement trouvé k fois soit, en réalité, fortement entaché d'erreur, voire même non significatif.
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Question d'« arrondi »
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BREZINSKI (C.) - Méthodes numériques de base – Analyse numérique. - [AF 1 220] (2006).
-
(2) - LA PORTE (M.), VIGNES (J.) - Algorithmes numériques, analyse et mise en œuvre. - Éds Technip, Paris, vol.1 et 2 (1974 et 1980).
-
(3) - PICHAT (M.), VIGNES (J.) - Ingénierie du contrôle de la précision des calculs sur ordinateur. - Éd. Technip, Paris (1993).
-
(4) - MULLER (J.M.) - L'arithmétique des ordinateurs, - Masson, 1989.
-
(5) - GAO/Imtec-92-26 - Patriot missile Defense. - Software problems led to failure at Dahran Arabia (1992).
-
(6) - RUMP (S.M.) - How reliable are results of computers ? - Jahrbuch Uberliche Mathematik (1983).
-
...
NORMES
-
Floating-point arithmetic - IEEE 754 - 01-08
1.1 Sites web où les logiciels cités sont disponibles
-
CADNA http://www.lip6.fr/cadna
-
INTLAB http://www.ti3.tu-harburg.de
-
PRECISE http://www.cerfacs.fr/algor/Softs/PRECISE/precise.html
Liste non exhaustive.
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