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RÉSUMÉ
Depuis plusieurs décennies maintenant, l’ordinateur effectue un nombre important d’opérations arithmétiques dans le domaine des sciences et des techniques, ainsi que dans beaucoup de nos activités quotidiennes. Malgré l’aide précieuse apportée, le problème des approximations reste bien réel. En effet, toute valeur numérique ne peut y être représentée qu'avec un nombre fini de chiffres, et doit donc être arrondie, sans compter même les incertitudes dues aux appareils de mesure. Cet article présente tout d’abord l'arithmétique des ordinateurs et ses conséquences en calcul scientifique, pour s’intéresser ensuite aux méthodes d'estimation des bornes de la propagation des erreurs d'arrondi.
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Jean VIGNES : Professeur émérite de l'université Pierre et Marie Curie
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René ALT : Professeur émérite de l'université Pierre et Marie Curie
INTRODUCTION
L'ordinateur est actuellement utilisé dans la quasi totalité des sciences et des techniques, ainsi que dans beaucoup de nos activités quotidiennes. Cependant, il ne faut pas oublier que le but premier de ces machines était de pouvoir faire automatiquement des calculs numériques. Ils sont les successeurs des bouliers et des machines à calculer mécaniques, puis électriques, et sont en cela le résultat de l'association de l'électronique et des techniques de calcul anciennes et bien connues. Ainsi, les tout premiers ordinateurs pouvaient déjà, grâce à la rapidité d'exécution qu'apporte l'électronique, effectuer en un temps raisonnable un nombre important d'opérations arithmétiques.
Mais, sur ordinateur, toute valeur numérique ne peut être représentée qu'avec un nombre fini de chiffres. De ce fait, toute donnée ou résultat fourni par les opérations arithmétiques doit être arrondi, c'est-à-dire remplacé par une valeur proche représentable exactement. Ainsi, au niveau de chaque opération arithmétique, une erreur d'arrondi est générée, certes très faible, mais qui, tout au long des calculs, va se propager en affectant tous les résultats.
De plus, il est fréquent que les données mises en jeu dans le programme de calcul soient issues d'appareils de mesure (capteurs) et se trouvent donc entachées d'incertitudes dues à ces appareils. Il est également indispensable de pouvoir évaluer l'influence de ces incertitudes sur les résultats fournis par l'ordinateur.
Dans le chapitre , l'arithmétique des ordinateurs est présentée et les conséquences qu'elle engendre sont mises en évidence à l'aide d'exemples. Le chapitre est consacré aux méthodes déterministes d'estimation des bornes (majorantes) de la propagation des erreurs d'arrondi. L'analyse régressive est particulièrement intéressante pour étudier la stabilité des algorithmes. Cependant, elle nécessite une étude détaillée de chaque algorithme étudié.
L'arithmétique d'intervalles permet de calculer un intervalle contenant certainement la solution exacte du problème étudié, mais nécessite généralement une reformulation de l'algorithme si l'on ne veut pas trouver un intervalle beaucoup trop pessimiste.
Les autres aspects, notamment l'approche stochastique de la propagation des erreurs, à travers la méthode CESTAC, ainsi que l'apport du logiciel CADNA, seront étudiés dans le dossier qui lui fait suite, [AF 1 471].
Enfin, le lecteur trouvera une imposante bibliographie et des sites web recommandés dans la partie documentaire, le dossier [Doc. AF 1 470].
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Méthodes d'estimation des bornes des erreurs d'arrondi
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2. Conséquences de l'arithmétique des ordinateurs en calcul scientifique
Dans ce chapitre, nous allons présenter la différence fondamentale qui existe entre le calcul algébrique et le calcul numérique sur ordinateur.
Dans le calcul algébrique, toutes les opérations arithmétiques symbolisées sont supposées être exécutées avec une précision infinie. Ainsi, les résultats obtenus sont toujours exacts. Dans le calcul numérique sur ordinateur, les opérations arithmétiques sont exécutées avec une précision limitée. Ainsi, les résultats obtenus sont toujours entachés d'une erreur due au fait que cette arithmétique n'est qu'une approximation de l'arithmétique à précision infinie.
Dans certains cas, cette erreur peut être tellement grande que les résultats obtenus sont non significatifs. Pour bien apprécier cette différence, il faut étudier comment sont codées les valeurs numériques en machine, et comment sont exécutées les opérations arithmétiques.
En calcul scientifique, les éléments de l'ensemble des entiers relatifs
sont utilisés pour le comptage dans les boucles de calcul, ou pour le calcul des indices de variables. Les autres calculs utilisent les éléments de
.
En machine, tous les éléments de
et de
sont codés en binaire, c'est-à-dire en base b = 2.
2.1 Représentation des nombres entiers relatifs
Le mode dit « entier » permet de représenter une partie seulement des éléments de
