Cet article expose les concepts fondamentaux de la programmation linéaire qui consiste à minimiser ou à maximiser une fonction objectif linéaire avec des contraintes d'inégalités et d'égalités linéaires sur les variables du système. Les propriétés fondamentales de la programmation linéaire sont établies et la méthode de résolution du simplexe est présentée. Un exemple de problème de production sert de référence pour illustrer les différentes propriétés, concepts et méthodes développées. Un code MATLAB de la méthode du simplexe est fourni en annexe et une liste de quelques solveurs de programmation linéaire est proposée avec un exemple d'utilisation. La sensibilité aux données de la solution d'un programme linéaire et la notion de dualité en programmation linéaire sont introduites.
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This paper presents the basic concepts of linear programming, which consists in minimizing or maximizing a linear objective function with linear inequality or equality constraints on the variables of the system. The properties of solutions of a linear programming problem are established and the simplex method for solving a linear programming problem is presented in detail. Throughout the paper, a simple example of a production problem serves as a reference to illustrate the various concepts and methods developed. A MATLAB code of the simplex method is supplied, and some linear programming solvers are listed with an example of use. The data sensitivity of the solution of a linear program is analyzed, and the concept of linear programming duality is introduced.
Auteur(s)
Jean-François SCHEID
: Maître de conférences en mathématiques appliquées - Institut Elie Cartan de Lorraine & TELECOM Nancy - Université de Lorraine, Nancy, France
INTRODUCTION
De nombreux phénomènes économiques et industriels peuvent se modéliser par des systèmes mathématiques d’inégalités et d’égalités linéaires conduisant à des problèmes d’optimisation linéaire. Dans ces problèmes d’optimisation linéaire, on cherche à minimiser ou maximiser une fonction linéaire sous des contraintes linéaires portant sur les variables du problème. On parle souvent de programmation linéaire (ou encore de programme linéaire), le terme de programmation faisant référence à l’idée d’organisation et de planification lié à la nature des phénomènes modélisés. Ce terme a été introduit pendant la Seconde Guerre mondiale et systématiquement utilisé à partir de 1947 lorsque G. Dantzig inventa la méthode du simplexe pour résoudre les problèmes de programmation linéaire. Les applications industrielles de la programmation linéaire sont très présentes par exemple dans l’industrie pétrolière (pour l’extraction, le raffinage et la distribution du pétrole), dans l’agroalimentaire (composition optimale des ingrédients de plats cuisinés, etc.), industrie du fer et de l’acier (composition optimale des aciers), l’industrie du papier (problèmes de découpe), les transports (plan de vols d’avions, minimisation des coûts de transport…) et les réseaux (optimisation des réseaux de communication).
Cet article présente les propriétés et les concepts fondamentaux de la programmation linéaire puis expose l’algorithme du simplexe pour résoudre un programme linéaire. L’algorithme du simplexe est mis en œuvre selon deux méthodes, la méthode des dictionnaires et la méthode des tableaux. La première méthode permet de bien comprendre le déroulement du simplexe alors que la méthode des tableaux est plus algébrique et elle conduit à la mise en œuvre effective de l’algorithme du simplexe. Un code MATLAB basé sur la méthode des tableaux est proposé en annexe. Une application de la méthode du simplexe à l’analyse de sensibilité d’un programme linéaire est également présentée ainsi qu’une introduction à la dualité en programmation linéaire.
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En optimisation et plus généralement en recherche opérationnelle, modéliser un problème consiste à identifier les variables intrinsèques, les différentes contraintes auxquelles sont soumises ces variables et enfin à définir l’objectif visé (optimisation). Dans un problème de programmation linéaire (PL en abrégé) les contraintes et l’objectif sont des fonctions linéaires des variables.
On va étudier un exemple particulier de programmation linéaire qui servira d’exemple de référence tout au long de l’article. Il s’agit d’un problème de production volontairement très simple. Le but ici n’étant pas de résoudre ce problème mais d’introduire les notions et concepts fondamentaux liés à la programmation linéaire. Dans cet exemple, on considère une usine qui fabrique deux produits P1 et P2 en utilisant un certain nombre de ressources : équipement, main d’œuvre et matières premières. Ces besoins sont indiqués dans le tableau 1. Par ailleurs, chaque ressource est disponible en quantité limitée (cf. tableau 1).
Les deux produits P1 et P2 rapportent à la vente respectivement des bénéfices de 6 euros et 4 euros par unité. On cherche à savoir quelles quantités de produits P1 et P2 doit produire l’usine afin de maximiser le bénéfice total venant de la vente des deux produits. Les quantités de produits sont des valeurs non nécessairement entières.
Choix des variables (les inconnues) : x1 et x2 sont respectivement les quantités des produits P1 et P2 fabriqués (x1,
) ;
Choix de la fonction objectif à maximiser : la fonction objectif F correspond au bénéfice total provenant de la vente des produits P1 et P2 en quantité x1 et x2. Elle vaut F (x1, x2) = 6x1 + 4x2. Le problème se traduit donc par :
...
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BILLIONNET (A.) -
Optimisation discrète – De la modélisation à la résolution par des logiciels de programmation mathématique.
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BREZINSKI (C.) -
Initiation à la programmation linéaire et à l'algorithme du simplexe.
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Linear programming.
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Linear Programming 1 : Introduction.
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Springer Series in Operations Research and Financial Engineering (2013).
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DANTZIG (G.), THAPA (M.) -
Linear Programming 2 : Theory and Extensions.
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Springer Series in Operations Research and Financial Engineering (2013).
Bibliographie & annexes
En anglais
Formes générales d’un programme linéaire
) ;
