Cadre théorique : de Boltzmann à BGK
Méthode de Boltzmann sur réseau - Application à la mécanique des fluides

La méthode de Boltzmann sur réseau (LBM, Lattice Boltzmann Method) est une méthode de CFD (Computational fluid dynamics, mécanique des fluides numérique) qui a connu un développement très important depuis le début des années 2000. Contrairement aux méthodes de CFD traditionnelles, qui utilisent comme variables fondamentales les grandeurs macroscopiques comme la vitesse, la pression ou la masse volumique, la LBM repose sur le calcul de la distribution de vitesses des molécules. Les grandeurs usuelles sont ensuite obtenues grâce au calcul des moments de la distribution des vitesses.

Cette approche peut être vue comme une discrétisation de l’équation de Boltzmann, qui correspond au bilan sur un volume infinitésimal de la densité de probabilité des vitesses de molécules dans un gaz dilué.

Boltzmann a montré que cette fonction convergeait vers un équilibre connu sous le nom de distribution de Maxwell-Boltzmann, qui se présente sous la forme d’une Gaussienne dont la moyenne correspond à la vitesse du fluide et dont l’écart type est lié à la température.

En partant de cette équation, le modèle de Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) propose de représenter l’évolution temporelle comme une relaxation linéaire vers l’équilibre. Cette hypothèse est valable pour des écoulements quasi incompressibles. Le temps caractéristique de relaxation est alors lié à la viscosité du fluide.

Si les travaux de Boltzmann ont été développés dans le cadre stricte de la théorie cinétique des gaz, il est possible de démontrer que l’équation de Boltzmann discrétisée converge vers les équations de Navier-Stokes tant que l’hypothèse d’écoulement quasi incompressible reste valable.

Ce résultat autorise ainsi l’utilisation de la LBM pour des fluides visqueux bien au-delà des simples gaz dilués. En extrapolant encore, l’équation de BGK discrète peut être vue simplement comme une façon originale de représenter les équations de transport. Par exemple, l’équation de la chaleur peut être résolue par une approche similaire afin de réaliser le couplage de la mécanique des fluides avec la thermique.

Les avantages de la méthode sont les suivants :

• la simplicité de l’algorithme qui permet l’implémentation d’un code de CFD en quelques dizaines de lignes pour les langages de haut niveau (python, matlab…) ;

• une approche eulérienne qui permet la représentation de géométries complexes avec une simple grille structurée ;

• l’approche purement explicite qui facilite la parallélisation massive des codes de calcul ;

• la possibilité de réaliser un couplage multiphysique pour simuler des écoulements complexes, avec par exemple de la thermique, des changements de phase ou des écoulements avec plusieurs constituants.

Ces avantages ont permis un fort développement de la LBM et une utilisation de plus en plus répandue dans la communauté scientifique.

Dans cet article, les bases de la LBM seront présentées, en commençant par une introduction de l’équation de Boltzmann continue, de la linéarisation de BGK, puis de la discrétisation. L’implémentation numérique sera ensuite détaillée avec les conditions limites associées. Il faut noter que de multiples variantes existent, pour le cœur de l’algorithme comme pour les conditions limites. Seules les approches les plus populaires seront décrites en détail. Enfin, les principaux outils disponibles ainsi que les applications phares seront présentées.