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RÉSUMÉ
Des outils d’analyse pour accéder aux résultats généraux de la théorie spectrale et à ceux spécifiques relatifs aux opérateurs compacts, existent déjà, notamment ceux encadrant la théorie des fonctions analytiques. Cependant, aborder en profondeur les opérateurs normaux nécessite des outils supplémentaires : théorie de la mesure, topologies découlant d’une famille de semi-normes ainsi que sur la notion algébrique d’idéal et sur l’axiome du choix. Cet article présente divers aspects du théorème spectral des opérateurs normaux. Ainsi, l’intégrale de Dunford permet de construire des projecteurs réduisant l’opérateur selon ses composantes élémentaires. Cependant, en l’absence de décomposition du spectre en composantes connexes, la construction de projecteurs nécessite le recours aux outils de la théorie de la mesure.
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Marc LENOIR : Directeur de recherche au CNRS - École nationale supérieure des techniques avancées
INTRODUCTION
Les outils d’analyse que sont la théorie des fonctions analytiques et celle des espaces de Banach et de Hilbert permettent d’accéder aux résultats généraux de la théorie spectrale et à ceux spécifiques relatifs aux opérateurs compacts. Une analyse approfondie des opérateurs normaux, c’est-à-dire commutant avec leur adjoint et qui ne satisfont pas I’hypothèse de compacité, nécessite de faire appel à des outils supplémentaires de diverses natures : théorie de la mesure, topologies découlant d’une famille de semi-normes ainsi qu’à la notion algébrique d’idéal et à l’axiome du choix.
Ce document peut être considéré comme la suite de l’article [AF 567] théorie spectrale et applications ; il a pour but de présenter divers aspects du théorème spectral des opérateurs normaux. Lorsque le spectre se résout en composantes connexes, et tout particulièrement lorsqu’il est discret l’intégrale de Dunford, permet de construire des projecteurs réduisant l’opérateur selon ses composantes élémentaires. Cette stratégie reste valable dans son principe pour l’analyse des opérateurs normaux, mais en l’absence de décomposition du spectre en composantes connexes, la construction de projecteurs nécessite le recours aux outils de la théorie de la mesure.
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Cette présentation ne doit pas être considéré comme un aboutissement mais plutôt comme un point de départ et peut être prolongée selon diverses modalités.
D'un point de vue théorique, une analyse plus fine du spectre conduit à élaborer une théorie de la multiplicité généralisant celle de la dimension finie. Par ailleurs les algèbres non commutatives et leurs représentations, auxquelles on fait couramment référence sous le vocable de géométrie non-commutative, font l'objet d'études théoriques nombreuses et difficiles dans le cadre des algèbres de von Neumann. Une application élémentaire réside dans l'identification de l'image par
de l'ensemble des fonctions boréliennes bornées sur le spectre dans le cas d'un opérateur simple, comme étant l'algèbre de von Neumann engendrée par l'opérateur.
D'un point de vue plus pratique, le théorème spectral des opérateurs normaux constitue l'un des fondements de la théorie spectrale des opérateurs non bornés, dont les applications sont multiples, en particulier aux équations aux dérivées partielles, aux semi-groupes, à la théorie de la diffusion et à la mécanique quantique.
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ARVESON (W.) - A short course on spectral theory - Springer, Graduate texts in Mathematics 209 (2002).
-
(2) - ARVESON (W.) - An invitation to C* -algebras - Springer, Graduate texts in Mathematics 39 (1976).
-
(3) - BIRMAN (M.S.), SOLOMJAK (M.Z.) - Spectral theory of self-adjoint operators in Hilbert space - Reidel (1987).
-
(4) - CONWAY (J.) - A course in functional analysis - Springer, Graduate texts in Mathematics 96 (1990).
-
(5) - DESCOMBES (R.) - Intégration - Hermann (1972).
-
(6) - LÉVY-BRUHL (P.) - Introduction à la théorie spectrale - Dunod (2003).
-
(7)...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
PAULIN (F.). – Compléments de théorie spectrale et d'analyse harmonique http://www.math.u-psud.fr/∼ paulin/notescours/cours_magistere2.pdf
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