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RÉSUMÉ
Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de matrices est un important problème en analyse numérique linéaire. Les problèmes de valeurs propres sont très riches, tant par leur variété que par le type de matrices que l'on doit traiter et par les méthodes et algorithmes de calcul à utiliser : les matrices peuvent être symétriques ou non symétriques, creuses ou pleines, et les problèmes peuvent être classiques ou généralisés ou même quadratiques. Il existe des applications qui requièrent le calcul d'un très petit nombre de valeurs propres, d'autres au contraire un grand nombre ou même tout le spectre.
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Bernard PHILIPPE : INRIA Rennes-Bretagne Atlantique
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Yousef SAAD : Department of computer science and engineering, university of Minnesota
INTRODUCTION
Lalculer les valeurs propres et les vecteurs propres de matrices est un des problèmes les plus importants en analyse numérique linéaire. Les techniques requérant la connaissance du spectre de matrices sont utilisées dans des domaines aussi variés que la mécanique quantique, l'analyse des structures, la théorie des graphes, les modèles de l'économie et le classement des pages de la Toile informatique par les moteurs de recherche.
Par exemple, en mécanique des structures, les problèmes de « résonances » ou de « vibrations » de structures mécaniques, décrits par l'analyse spectrale, se ramènent à des calculs de valeurs et de vecteurs propres.
Les problèmes non symétriques de valeurs propres apparaissent dans l'analyse de la stabilité de systèmes dynamiques. Dans un tout autre domaine, la chimie quantique donne lieu à des problèmes symétriques aux valeurs propres qui peuvent être gigantesques, tant par leur taille que par le nombre de valeurs et de vecteurs propres à extraire. On peut également mentionner que la décomposition aux valeurs singulières, qui est une sorte de généralisation de la décomposition spectrale classique, est primordiale en statistique et dans les problèmes de la « nouvelle économie » (reconnaissance de formes, fouille de données, traitement du signal, exploitation de données, etc.).
Les problèmes de valeurs propres sont très riches, tant par leur variété que par le type de matrices que l'on doit traiter et par les méthodes et algorithmes de calcul à utiliser : les matrices peuvent être symétriques ou non symétriques, creuses ou pleines, et les problèmes peuvent être classiques ou généralisés ou même quadratiques. Il existe des applications qui requièrent le calcul d'un très petit nombre de valeurs propres, d'autres au contraire un grand nombre de valeurs propres ou même tout le spectre.
On essaiera donc dans cet article de survoler les outils permettant de résoudre ces différents cas.
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7. Décomposition aux valeurs singulières
La décomposition aux valeurs singulières, notée SVD (singular value decomposition ), a des applications importantes dans des domaines scientifiques très variés. Cette décomposition peut être considérée comme une généralisation de la décomposition spectrale d'une matrice hermitienne qui est une décomposition de A en un produit de la forme A = U DUH où U est unitaire et D diagonale. Cependant, la décomposition SVD existe pour toute matrice, et ce, même dans le cas des matrices rectangulaires.
Théorème 13
Pour toute matrice
, il existe des matrices orthogonales
et
telles que :
où Σ est une matrice diagonale de dimension m × n avec des éléments diagonaux
.
Pour une démonstration, on consultera [14]. On supposera que les termes diagonaux sont rangés par ordre décroissant, i.e.,
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Décomposition aux valeurs singulières
