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RÉSUMÉ
La théorie de la mesure géométrique porte sur l’étude des propriétés géométriques des sous-ensembles des espaces euclidiens ordinaires au moyen des concepts et outils de la théorie de la mesure. Cette théorie permet la mise en place de notions généralisant la géométrie différentielle à une classe de surfaces qui ne sont pas régulières (i.e. continûment différentiables). Cet article présente les notions de base de la théorie de la mesure géométrique et décrit les mesures n-dimensionnelle de Lebesgue et m-dimensionnelles de Hausdorff, les contenus de Minkowski, les mesures périmétriques, les mesures m-dimensionnelles de Gross et de Favard, les mesures fractionnaires de Hausdorff, ainsi que les densités de Lebesgue-Hausdorff et les notions d’ensembles parallèles et de rectifiabilité.
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
Deux problèmes mathématiques très connus sont considérés comme précurseurs de la théorie de la mesure géométrique : le problème isopérimétrique et le problème de Plateau.
Le problème isopérimétrique (ou problème de Didon, fondatrice légendaire et première reine de Carthage) consiste à déterminer une figure plane ayant la plus grande aire possible, mais dont la frontière a une longueur spécifiée. Ce problème se généralise aux surfaces dans l'espace euclidien tridimensionnel, et aussi aux hypersurfaces en dimensions supérieures à 3. La solution dans le plan (i.e. un disque) était déjà connue dans la Grèce antique (par Zénodore), mais la première preuve mathématiquement rigoureuse a cependant été obtenue seulement au XIXe siècle.
Le problème de Plateau (1849) (posé par J.-L. Lagrange en 1760) consiste à déterminer une surface minimale (i.e. une aire minimale) s'appuyant sur un bord clos donné. Ce problème se généralise en dimension supérieure à 3. Les solutions générales dans le plan euclidien ont été publiées pour la première fois au début des années 1930, et en 1961 en dimensions supérieures à 3.
A. Besicovitch à la fin des années 1920 et dans les années 1930 fût le pionnier de la théorie de la mesure géométrique dans le plan euclidien. H. Federer dans les années 1950 et 1960 étendit les travaux d’A. Besicovitch aux espaces euclidiens de dimension supérieure à 2 et publia un traité de grande importance sur cette théorie en 1969, dont il est considéré comme le principal « fondateur ».
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MOTS-CLÉS
contenus de Minkowski mesures de Hausdorff rectifiabilité mesures géométriques mesures volumiques
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Les mesures invariantes
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12. Les mesures périmétriques
Le terme périmètre désigne stricto sensu la longueur d’une courbe de Jordan différentiable de classe C 1 (voire lipchitzienne), ou plus généralement l’« aire » d’une hyper-surface (n − 1)-dimensionnelle simple et close de classe C 1 (voire lipchitzienne), et largo sensu la « taille » de la frontière d’un sous-ensemble de
.
Il existe plusieurs notions de périmètre.
12.1 La mesure (n − 1)-dimensionnelle de Hausdorff
La mesure (n − 1)-dimensionnelle de Hausdorff, notée
, est définie pour un sous-ensemble X quelconque de
.
Pour un sous-ensemble X de
compact suffisamment régulier (e.g., un sous-ensemble compact convexe ou un sous-ensemble compact de frontière lipschitzienne), la mesure (n − 1)-dimensionnelle de Hausdorff
correspond au périmètre classique de X pour n = 2 et à l’aire de la surface de X pour n = 3.
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Les mesures périmétriques
