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1 - RAPPELS

  • 1.1 - Topologie euclidienne
  • 1.2 - Applications lipschitziennes

2 - ALGÈBRES D’ENSEMBLES

  • 2.1 - Algèbres d’ensembles
  • 2.2 - σ-algèbres d’ensembles
  • 2.3 - Algèbres boréliennes

3 - RECOUVREMENTS

  • 3.1 - Recouvrements et sous-recouvrements
  • 3.2 - Lemme de recouvrement de Vitali
  • 3.3 - Lemme de recouvrement de Besicovitch

4 - CONTENUS

  • 4.1 - Contenu
  • 4.2 - Contenu de Gauss
  • 4.3 - Contenus de Peano-Jordan intérieur et extérieur
  • 4.4 - Contenu de Peano-Jordan

5 - MESURES POSITIVES

  • 5.1 - Mesures positives
  • 5.2 - Mesures intérieurement et extérieurement régulières
  • 5.3 - Mesures de Radon positives
  • 5.4 - Ensembles nuls, co-nuls et ensembles négligeables
  • 5.5 - Propriété vraie presque partout
  • 5.6 - Mesures complètes et complétées
  • 5.7 - Mesures atomiques et diffuses, et support d’une mesure

6 - MESURES RÉELLES

  • 6.1 - Définition
  • 6.2 - Mesures finies, σ-finies, et localement finies
  • 6.3 - Mesures concentrées et étrangères
  • 6.4 - Variation d’une mesure et mesures absolument continues
  • 6.5 - Équivalence de mesures
  • 6.6 - Décompositions d’une mesure
  • 6.7 - Ensembles positifs, négatifs et nuls
  • 6.8 - Mesures de Radon réelles
  • 6.9 - Mesures réelles complètes

7 - MESURES EXTÉRIEURES

  • 7.1 - Mesure extérieure
  • 7.2 - Critère de Carathéodory
  • 7.3 - Mesure extérieure régulière au sens de Borel

8 - LA MESURE N-DIMENSIONNELLE DE LEBESGUE

  • 8.1 - Définition
  • 8.2 - Sous-ensembles boréliens et Lebesgue-mesurables
  • 8.3 - Ensembles non mesurables
  • 8.4 - Propriétés
  • 8.5 - Le volume de la boule unité n-dimensionnelle
  • 8.6 - Le théorème de Rademacher
  • 8.7 - Les ensembles de Jordan
  • 8.8 - Les ensembles de Caccioppoli
  • 8.9 - Les courbes de Jordan et d’Osgood

9 - LA MESURE M-DIMENSIONNELLE DE HAUSDORFF

  • 9.1 - Définition
  • 9.2 - Propriétés
  • 9.3 - Cas particulier : m = 0 ou n
  • 9.4 - Comportement versus les applications lipschitziennes
  • 9.5 - La surface de la sphère unité (n − 1)-dimensionnelle

10 - ENSEMBLES PARALLÈLES

  • 10.1 - Ensembles parallèles intérieurs et extérieurs
  • 10.2 - Frontières des dilatés d’un ensemble

11 - LES CONTENUS DE MINKOWSKI

  • 11.1 - Le contenu m-dimensionnel de Minkowski
  • 11.2 - Le contenu extérieur (n − 1)-dimensionnel de Minkowski
  • 11.3 - Le contenu bilatéral (n − 1)-dimensionnel de Minkowski

12 - LES MESURES PÉRIMÉTRIQUES

  • 12.1 - La mesure (n − 1)-dimensionnelle de Hausdorff
  • 12.2 - La formule de Steiner-Minkowski
  • 12.3 - Le périmètre de Caccioppoli-De Giorgi

13 - LES MESURES INVARIANTES

  • 13.1 - Groupes de transformations affines
  • 13.2 - Grassmanniens vectoriels et affines
  • 13.3 - Mesures invariantes
  • 13.4 - Mesures de Haar

14 - ENSEMBLES RECTIFIABLES

  • 14.1 - Ensembles rectifiables et dénombrablement rectifiables
  • 14.2 - Rectifiabilité et espaces tangents
  • 14.3 - Cônes et espaces tangents
  • 14.4 - Le théorème de Federer sur les ensembles rectifiables
  • 14.5 - Ensembles purement non rectifiables
  • 14.6 - Le théorème de décomposition de Besicovitch-Federer

15 - LES MESURES M-DIMENSIONNELLES DE GROSS ET DE FAVARD

  • 15.1 - La mesure m-dimensionnelle de Gross
  • 15.2 - La mesure m-dimensionnelle de Favard
  • 15.3 - La formule de Cauchy-Crofton généralisée

16 - LA MESURE FRACTIONNAIRE Β-DIMENSIONNELLE DE HAUSDORFF

  • 16.1 - Définition
  • 16.2 - Propriétés
  • 16.3 - Applications höldériennes
  • 16.4 - Comportement versus les fonctions höldériennes

17 - LES DENSITÉS DE LEBESGUE ET DE LEBESGUE-HAUSDORFF

  • 17.1 - La densité de Lebesgue
  • 17.2 - Intérieur, fermeture et frontière au sens de la mesure
  • 17.3 - La densité de Lebesgue-Hausdorff
  • 17.4 - Densité de Lebesgue-Hausdorff et ensembles rectifiables

18 - DISCUSSION FINALE

Article de référence | Réf : AF213 v1

La mesure m-dimensionnelle de Hausdorff
Théorie de la mesure géométrique

Auteur(s) : Jean-Charles PINOLI

Date de publication : 10 avr. 2016

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RÉSUMÉ

La théorie de la mesure géométrique porte sur l’étude des propriétés géométriques des sous-ensembles des espaces euclidiens ordinaires au moyen des concepts et outils de la théorie de la mesure. Cette théorie permet la mise en place de notions généralisant la géométrie différentielle à une classe de surfaces qui ne sont pas régulières (i.e. continûment différentiables). Cet article présente les notions de base de la théorie de la mesure géométrique et décrit les mesures n-dimensionnelle de Lebesgue et m-dimensionnelles de Hausdorff, les contenus de Minkowski, les mesures périmétriques, les mesures m-dimensionnelles de Gross et de Favard, les mesures fractionnaires de Hausdorff, ainsi que les densités de Lebesgue-Hausdorff et les notions d’ensembles parallèles et de rectifiabilité.

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Auteur(s)

  • Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines, Saint-Étienne, France

INTRODUCTION

Deux problèmes mathématiques très connus sont considérés comme précurseurs de la théorie de la mesure géométrique : le problème isopérimétrique et le problème de Plateau.

Le problème isopérimétrique (ou problème de Didon, fondatrice légendaire et première reine de Carthage) consiste à déterminer une figure plane ayant la plus grande aire possible, mais dont la frontière a une longueur spécifiée. Ce problème se généralise aux surfaces dans l'espace euclidien tridimensionnel, et aussi aux hypersurfaces en dimensions supérieures à 3. La solution dans le plan (i.e. un disque) était déjà connue dans la Grèce antique (par Zénodore), mais la première preuve mathématiquement rigoureuse a cependant été obtenue seulement au XIXe siècle.

Le problème de Plateau (1849) (posé par J.-L. Lagrange en 1760) consiste à déterminer une surface minimale (i.e. une aire minimale) s'appuyant sur un bord clos donné. Ce problème se généralise en dimension supérieure à 3. Les solutions générales dans le plan euclidien ont été publiées pour la première fois au début des années 1930, et en 1961 en dimensions supérieures à 3.

A. Besicovitch à la fin des années 1920 et dans les années 1930 fût le pionnier de la théorie de la mesure géométrique dans le plan euclidien. H. Federer dans les années 1950 et 1960 étendit les travaux d’A. Besicovitch aux espaces euclidiens de dimension supérieure à 2 et publia un traité de grande importance sur cette théorie en 1969, dont il est considéré comme le principal « fondateur ».

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af213

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9. La mesure m-dimensionnelle de Hausdorff

La mesure (extérieure) m-dimensionnelle de Hausdorff (0≤m≤n) est une généralisation de la mesure de Lebesgue qui se révèle utile pour la mesure de sous-ensembles de ℝn de dimensions inférieures à n, tels que les variétés topologiques, comme par exemple, les courbes et les surfaces, ou les sous-ensembles fractals .

Le concept de mesure m-dimensionnelle de Hausdorff généralise en dimensions ordinaires les notions de dénombrement, de longueur, d’aire et de volume.

9.1 Définition

Définition (mesure m-dimensionnelle de Hausdorff) (1918) La mesure (extérieure) m-dimensionnelle de Hausdorff (0≤m≤n) , notée μHnm , d’un sous-ensemble X quelconque de ℝn est définie par (...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - ALBERTI (G.) -   Geometric measure theory.  -  Encyclopedia of Mathematical Physics, Vol. 2, pp. 520-527 (J.-P. Françoise et al, eds), Elsevier (2006).

  • (2) - AMBROSIO (L.), CAPASSO (V.), VILLA (E.) -   On the approximation of mean densities of random closed sets.  -  Bernoulli, Vol. 15, No. 4, pp. 1222-1242 (2009).

  • (3) - AMBROSIO (L.), COLESANTI (A.), VILLA (E.) -   Outer Minkowski content for some classes of closed sets.  -  Mathematische Annalen, Vol. 342, No. 4, pp. 727-748 (December 2008).

  • (4) - AMBROSIO (L.), FUSCO (N.), PALLARA (D.) -   Functions of bounded variations and free discontinuity problems.  -  Oxford University Press, New-York (2000).

  • (5) - BOGACHEV (V.I.) -   Measure Theory, I.  -  Springer, 500 p. (2006).

  • (6) - BOGACHEV (V.I.) -   Measure...

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