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RÉSUMÉ
La géométrie convexe est la branche de la géométrie traitant des ensembles convexes, principalement dans les espaces euclidiens. Les ensembles convexes se produisent naturellement dans la géométrie et dans beaucoup de domaines mathématiques : analyse convexe, analyse fonctionnelle, géométrie calculatoire, géométrie discrète, géométrie intégrale, géométrie des nombres, géométrie stochastique, programmation linéaire, stéréologie, théorie des jeux, théorie des probabilités,etc. La géométrie convexe concerne aussi d'autres disciplines scientifiques et techniques (e.g. biologie, chimie, cosmologie, géologie, pharmacie, physique...) où les objets élémentaires (cellules, corpuscules, grains, particules, planètes...) sont souvent considérés comme des ensembles convexes. Ce second article porte sur les distances et les mesures sur les ensembles convexes et plus largement sur les ensembles étoilés, ainsi que sur les approximations, comparaisons et symétrisations, dont l’intérêt se situe à la fois en théorie et en pratique.
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Convex Geometry is the branch of geometry studying convex sets, mainly in Euclidean spaces. Convex sets occur naturally in Geometry and in many mathematical areas: computational geometry, convex analysis, discrete geometry, functional analysis, geometry of numbers, integral geometry, linear programming, game theory, probability theory, stochastic geometry, stereology etc.. Convex Geometry is also of interest in other scientific and engineering disciplines (e.g. in biology, chemistry, cosmology, geology, pharmaceutics, physics …) where elementary objects (cells, corpuscles, grains, particles, planets …) are often considered as convex sets. This second article deals with distances and measurements on convex sets and more broadly on star-shaped sets, as well as approximations, comparisons and symmetrizations, whose interest lies both in theory and in practice.
Auteur(s)
-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
Un premier article [AF 219] traitant de la géométrie convexe (Convex Geometry) a porté sur les principales définitions et propriétés des ensembles convexes et plus largement sur les ensembles étoilés, ainsi que des théorèmes fondamentaux les concernant.
Ce second article aborde des notions plus avancées, mais néanmoins fortes utiles pour les applications pratiques (analyse des données, analyse des images, analyse des formes…). En effet, les ensembles convexes doivent être mesurés (volumes, aires surfaciques, diamètres…) d’où le besoin de « mesures » mathématiques appropriées (les volumes intrinsèques) fournissant des grandeurs géométriques communément appelés descripteurs de taille (size descriptors). Ils doivent être aussi approximés et comparés, d’où la nécessité de l’utilisation de fonctions distances (distance de Pompéiu et Hausdorff, distance d’Asplund…). L’existence d’inégalités géométriques reliant ces grandeurs géométriques permet aussi la construction de descripteurs de formes (shape descriptors). Les questions concernant la continuité des grandeurs géométriques et la convergence de suites de sous-ensembles convexes ou étoilés ne relèvent pas uniquement de la théorie, mais se posent (ou doivent être posés) dans de nombreux cas pratiques comportant des problèmes de comparaison, d’approximation et de symétrisation.
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KEYWORDS
convex sets | star-shaped sets | geometric inequalities | intrinsic volumes
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14. Ensembles extrémaux et stabilité des inégalités géométriques
Un ensemble extrémal (extremal set) relatif à une inégalité géométrique (I) est un sous-ensemble satisfaisant la relation d’égalité correspondante (E).
Les questions portant sur les ensembles extrémaux sont importantes, mais dépassent le cadre du présent article ; voir pour un article introductif en dimension 2.
La stabilité (stability) d’une propriété géométrique qui caractérise une classe de sous-ensembles non vides de
convexes et compacts peut s’exprimer ainsi (p. 227 de ) : avec quelle précision (calculée pour une fonction distance d appropriée) un sous-ensemble non vide de
convexe et compact qui satisfait approximativement (à ε près) cette propriété géométrique peut-il être approximé par des sous-ensembles non vides de
convexes et compacts satisfaisant exactement cette propriété géométrique ?
La stabilité (stability) d’une inégalité géométrique (I), pour une classe
de sous-ensembles de donnée, exprime la plus ou moins grande différence numérique entre les deux termes de cette inégalité pour un membre...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALEXANDROV (A.D.) - Zur Theorie der gemischten Volumina von konvexen Körpern, II: Neue Ungleichungen zwischen den gemischten Volumina und ihre Anwendungen, - Matematicheskii Sbornik N. S. 2, pp. 1205-1238, (en russe avec un résumé en allemand) (1937).
-
(2) - ANCIAUX (H.), GUILFOYLE (B.) - On the three-dimensional Blaschke-Lebesgue problem, - Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 139, No. 5, pp. 1831-1839 (2011).
-
(3) - ASPLUND (E.) - Comparison between plane symmetric convex bodies and parallelograms, - Mathematica Scandinavia, Vol. 8, pp. 171-180 (1960).
-
(4) - BALL (K.) - An elementary introduction to modern convex geometry, - In: Flavors on Geometry, Research Institute for Mathematical Sciences, Vol. 31, pp. 1-58, Cambridge University Press, Cambridge (1997).
-
(5) - BANACH (S.) - Sur les fonctionnelles linéaires, - Studia Mathematica, Vol. 1, pp. 211-216 (1929).
-
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