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RÉSUMÉ
La géométrie convexe est la branche de la géométrie traitant des ensembles convexes, principalement dans les espaces euclidiens. Les ensembles convexes se produisent naturellement dans la géométrie et dans beaucoup de domaines mathématiques : analyse convexe, analyse fonctionnelle, géométrie calculatoire, géométrie discrète, géométrie intégrale, géométrie des nombres, géométrie stochastique, programmation linéaire, stéréologie, théorie des jeux, théorie des probabilités,etc. La géométrie convexe concerne aussi d'autres disciplines scientifiques et techniques (e.g. biologie, chimie, cosmologie, géologie, pharmacie, physique...) où les objets élémentaires (cellules, corpuscules, grains, particules, planètes...) sont souvent considérés comme des ensembles convexes. Ce second article porte sur les distances et les mesures sur les ensembles convexes et plus largement sur les ensembles étoilés, ainsi que sur les approximations, comparaisons et symétrisations, dont l’intérêt se situe à la fois en théorie et en pratique.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
Un premier article [AF 219] traitant de la géométrie convexe (Convex Geometry) a porté sur les principales définitions et propriétés des ensembles convexes et plus largement sur les ensembles étoilés, ainsi que des théorèmes fondamentaux les concernant.
Ce second article aborde des notions plus avancées, mais néanmoins fortes utiles pour les applications pratiques (analyse des données, analyse des images, analyse des formes…). En effet, les ensembles convexes doivent être mesurés (volumes, aires surfaciques, diamètres…) d’où le besoin de « mesures » mathématiques appropriées (les volumes intrinsèques) fournissant des grandeurs géométriques communément appelés descripteurs de taille (size descriptors). Ils doivent être aussi approximés et comparés, d’où la nécessité de l’utilisation de fonctions distances (distance de Pompéiu et Hausdorff, distance d’Asplund…). L’existence d’inégalités géométriques reliant ces grandeurs géométriques permet aussi la construction de descripteurs de formes (shape descriptors). Les questions concernant la continuité des grandeurs géométriques et la convergence de suites de sous-ensembles convexes ou étoilés ne relèvent pas uniquement de la théorie, mais se posent (ou doivent être posés) dans de nombreux cas pratiques comportant des problèmes de comparaison, d’approximation et de symétrisation.
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Inégalités et égalités géométriques
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8. Approximation des corps convexes dans…
Ci-dessus : Approximation des corps convexes dans
L’approximation d’un corps convexe X par des corps convexes (appelés les approximants) plus « simples » (souvent des polytopes) peut prendre principalement deux aspects : direct, par un approximant inscrit (inner approximation) ou circonscrit (outer approximation) (p. 103 de ) ou une paire homothétique encadrant X) (bi-approximation), et asymptotique, par une suite d’approximants convergente vers X.
Cette approximation requiert d’utiliser une fonctionnelle volumétrique (i.e. un volume intrinsèque ; le plus souvent le volume) ou une hyper-topologie de fait métrique, c’est-à-dire d’une distance entre le corps convexe X et son (ou ses) d’approximant(s) (p. 466 de ).
L’approximation de corps convexes en dimension 2 fut abordée par W. Blaschke dès 1916 (p. 466 de ).
L’approximation d’un corps convexe par un, deux ou une suite de corps convexes est importante en pratique.
8.1 Approximations directes en dimension 2
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