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RÉSUMÉ
La topologie générale est la branche des mathématiques qui traite des notions fondamentales utilisées en topologie et de leurs propriétés. Les intérêts théoriques et applicatifs se situent dans toutes les branches de l’analyse et de la géométrie, et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques. Cet article consiste en une première liste de plus de 70 espaces topologiques et métriques particuliers dont les propriétés ou non-propriétés sont des exemples ou contre-exemples détaillés relatives aux notions topologiques et métriques présentés dans les articles précédents. Cette liste est composée de droites, plans, courbes et autres objets planaires.
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France - À Andrée-Aimée Toucas pour son support bibliographique. - Au Professeur Frédéric Gruy pour son intérêt scientifique.
INTRODUCTION
La topologie générale est présentée en une série de six articles ; les deux premiers [AF 97] [AF 98] portant sur les espaces topologiques, les deux suivants [AF 120] [AF 121] sur les espaces métriques, et les deux derniers [AF 122] [AF 123] détaillant près de 150 exemples d’espaces topologiques/métriques possédant ou non les différentes notions topologiques/métriques présentées dans les articles susmentionnés.
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Conclusion
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13. Autres objets planaires
13.1 Dendroïdes et dendrites
Définition (dendroïde). Un dendroïde (dendroide) (terme dû à Knaster (1961)) est un continuum de Peano, connexe et localement connexe.
Les dendroïdes constituent une classe spéciale des espaces topologiques à forme d’arbre (tree-like topological spaces).
Théorème (Borsuk, 1954). Chaque application continue d’un dendroïde dans lui-même a un point fixe.
Définition (dendrite). Une dendrite (dendrite) (figure 11) est un dendroïde localement connexe ou de manière équivalente un continuum localement connexe ne contenant aucune courbe de Jordan (i.e. une courbe close et simple) (p. 300 de , p. 68 de ).
Ci-dessus : L’ensemble de Julia dans le plan complexe
du polynôme
est une dendrite (d’après Wikipedia)
Le terme de dendrite en géométrie s’applique à un certain type de croissance fractale, de par sa ressemblance aux dendrites biologiques [AF 218].
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Autres objets planaires
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AARTS (J.M.), NISHIURA (T.) - Dimension and Extensions, - North Holland, 331 pages (1993).
-
(2) - ADAMS (C.), FRANZOSA (R.) - Introduction to Topology Pure and Applied, - Pearson, 507 pages (2008).
-
(3) - ADAMSON (I.T.) - A General Topology Workbook, - Springer, 152 pages (1993).
-
(4) - ALEXANDROFF (P.), URYSOHN (P.) - Mémoire sur les espaces topologiques compacts, Verhandelingen der Koninklijke Nederl. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, - Sect. I, 14, pp. 1-96 (1929).
-
(5) - AMBROSIO (L.), TILLI (P.) - Topics on Analysis in Metric Spaces, - Oxford University Press, 133 pages (2004).
-
(6) - APPERT (A.) - Propriétés des espaces abstraits les plus généraux : Ensembles ouverts, fermés, denses...
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