Bibliographie & annexes
Présentation
English
RÉSUMÉ
Cet article propose trois types d’applications de distributions dans l’espace, celles que manipule essentiellement l’ingénieur. La formule de Stockes permet de démontrer la formule des sauts, autorisant à dériver une fonction qui présente une discontinuité le long d’une surface. Les espaces de Sobolev rendent possible l’écriture des équations aux dérivées partielles sous une formulation variationnelle. La dernière application présente l’utilisation des distributions en théorie du signal.
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Michel DOISY : Maître de conférences en mathématiques - École nationale supérieure d’électrotechnique, d’électronique, d’informatique, d’hydraulique et des télécommunications (ENSEEIHT) - Institut national polytechnique de Toulouse
INTRODUCTION
Ce dossier fait suite aux deux exposés précédents sur le sujet et qui visaient à introduire les notions de base de la théorie des distributions. Il présente quelques applications fondamentales de cette théorie dans les domaines de l’Ingénieur.
On a vu, déjà, dans le dossier Convolution et transformée de Fourier comment l’écriture de l’opérateur de dérivation comme un produit de convolution, soit :
permet de ramener la résolution d’une équation différentielle à la recherche d’un inverse de l’opérateur de dérivation (solution de Green) dans une algèbre de convolution convenable. En quelque sorte, on algébrise le problème ! C’est très élégant et astucieux, sans résoudre toutes les difficultés.
Nous développons ici d’autres applications dans trois directions.
Nous espérons avoir donné au travers de ces trois exposés ( ainsi que le présent texte), les connaissances de base sur les distributions et une idée des applications possibles. La théorie des distributions est une belle mécanique, qui s’appuie sur des espaces fonctionnels complexes. Pour maîtriser l’outil, il faut avoir une idée de ses fondements : c’est là la difficulté d’écrire sur le sujet !
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Présentation
Formule des sauts dans l’espace
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1. Les trois types d’applications proposés
-
Comme nous l’avons signalé en début de , le physicien ou l’ingénieur manipule essentiellement des distributions dans l’espace
. Or, pour faire du calcul intégral dans
, il est absolument essentiel – tout comme dans
– d’avoir à sa disposition une formule d’intégration par parties.
Dans une première partie, nous montrons comment l’on obtient celle-ci dans
grâce à la formule de Stokes , formule qui exige de définir soigneusement les notions de normale extérieure , de bord , de mesures de surface . La formule d’intégration par parties dans
nous permet de démontrer une formule des sauts qui autorise à dériver, au sens des distributions, une fonction qui présente des discontinuités le long d’une surface. La condition de Rankine-Hugoniot que l’on doit adjoindre dans la formulation classique, pour décrire la conservation du flux à l’endroit d’un choc, s’introduit très naturellement dans cette écriture au sens des distributions. Nous rappelons aussi, dans un premier paragraphe, comment la formule de Stokes permet d’obtenir la formule de Green, si importante pour la suite.
- ...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BONY (J.M.) - Cours d’analyse. Théorie des distributions et analyse de Fourier - . Édition de l’École polytechnique – Paris (2001).
-
(2) - BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle. Théorie et applications - . Dunod – Paris (1983).
-
(3) - GASQUET (C.), WITOMSKI (P.) - Analyse de Fourier et applications. Filtrage – Calcul numérique – Ondelettes - . 354 p., Masson – Paris (1990).
-
(4) - LACAZE (B.) - Processus aléatoires pour les communications numériques - . Collection Traitement du Signal – Hermès Science (2000).
-
(5) - LIONS (J.L.) - Quelques méthodes de la résolution de problèmes aux limites non linéaires - . Dunod – Paris (1969).
-
(6) - SPITÉRI (P.) - Méthode des éléments finis - ....
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