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Auteur(s)
-
Johan YEBBOU : Professeur agrégé en classe préparatoire au lycée Charlemagne de Paris
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Lire l’articleINTRODUCTION
La géométrie différentielle classique traite des courbes et des surfaces de l’espace euclidien au point de vue du calcul différentiel. Parmi les notions étudiées dans ce cadre, citons les tangentes aux courbes, les plans tangents aux surfaces, la courbure, les longueurs et les aires, les champs de vecteurs et leurs courbes intégrales.
Ce point de vue élémentaire des courbes et des surfaces s’avère vite insuffisant face à la nécessité d’envisager des ensembles de points dépendant d’un nombre quelconque de paramètres. En précisant convenablement cette idée, on aboutit à la notion de variété différentielle qui est à la base de la géométrie différentielle moderne.
Dans cet article, nous étudierons d’abord les propriétés des courbes et des surfaces puis les notions générales liées à la structure de variété différentielle.
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Étude moderne des variétés
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1. Étude classique des courbes et des surfaces
1.1 Courbes
On désigne par k un élément de
. On note E un espace vectoriel réel de dimension finie
muni de sa topologie d’espace vectoriel normé. Dans la pratique élémentaire, on prendra le plus souvent n = 2 (courbes planes) ou n = 3 (courbes gauches) mais le cas général est également utile. Le choix d’une base permet d’identifier E à
.
Rappels. Le lecteur se reportera dans ce traité à l’article sur le calcul différentiel pour la notion de fonction dérivable ou de classe
définie dans un intervalle I de
et à valeurs dans l’espace E. Donnons ici quelques rappels.
Soit f une fonction de I dans E ; pour t0 élément de I, le vecteur dérivé de f en t0, noté f ’(t0), est la limite, lorsqu’elle existe, de
quand...
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