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Auteur(s)
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Johan YEBBOU : Professeur agrégé en classe préparatoire au lycée Charlemagne de Paris
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La géométrie différentielle classique traite des courbes et des surfaces de l’espace euclidien au point de vue du calcul différentiel. Parmi les notions étudiées dans ce cadre, citons les tangentes aux courbes, les plans tangents aux surfaces, la courbure, les longueurs et les aires, les champs de vecteurs et leurs courbes intégrales.
Ce point de vue élémentaire des courbes et des surfaces s’avère vite insuffisant face à la nécessité d’envisager des ensembles de points dépendant d’un nombre quelconque de paramètres. En précisant convenablement cette idée, on aboutit à la notion de variété différentielle qui est à la base de la géométrie différentielle moderne.
Dans cet article, nous étudierons d’abord les propriétés des courbes et des surfaces puis les notions générales liées à la structure de variété différentielle.
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Étude classique des courbes et des surfaces
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2. Étude moderne des variétés
2.1 Variétés
L’étude précédente des courbes et des surfaces a mis en évidence deux aspects. D’une part, ce sont des parties d’un espace vectoriel normé ; d’autre part, elles possèdent une structure interne qui autorise parfois à ignorer la façon dont elles sont plongées dans l’espace ambiant. Par exemple, quand on étudie des arcs tracés sur une surface, on a intérêt à les représenter à l’aide des coordonnées déduites d’un paramétrage de celle-ci. Prenons le cas d’une sphère de
: on s’y repère à l’aide de systèmes de coordonnées pouvant varier suivant le point au voisinage duquel on se place ; si la sphère représente le globe terrestre, latitude et longitude sont adaptées au voisinage de l’équateur, mais on peut préférer un autre système de coordonnées au voisinage des pôles. Quoi qu’il en soit, on évite de considérer un système de coordonnées de l’espace ambiant. Le marin, pour sa navigation a besoin de deux coordonnées et d’un bon système de cartes pour se repérer. L’astronome a besoin de trois coordonnées : identifiant ainsi localement l’espace physique à un ouvert de
; il est cependant aussi un utilisateur des variétés différentielles abstraites, car cette identification n’a aucune raison d’être globale.
La notion de variété différentielle résulte de la nécessité de faire du calcul différentiel dans des ensembles plus généraux que des ouverts de
, mais qui s’y ramènent localement.
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