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Auteur(s)
-
Hervé QUEFFÉLEC : Professeur de mathématiques à l’’Université de Lille
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Lire l’articleINTRODUCTION
La transformation de Fourier sur la droite réelle
est l’analogue de la transformation de Fourier des fonctions périodiques localement intégrables, où les exponentielles :
sont remplacées par la famille continue des exponentielles :
et où l’intégration sur un intervalle période est remplacée par l’intégration sur
tout entier.
D’ailleurs, un physicien dirait qu’une fonction définie sur
est une fonction périodique de période infinie (!), et on peut donner une présentation unifiée des séries et intégrales de Fourier dans le cadre abstrait des groupe abéliens localement compacts. Il n’en demeure pas moins que, dans le cas des séries de Fourier, le groupe de base est le groupe compact des réels modulo 2π, alors que, dans le cas des intégrales de Fourier, ce groupe de base est le groupe non compact des réels. Il s’agit là, comme on le verra, d’une différence majeure ; même si, dans les deux cas, la convolution est transformée en la multiplication ordinaire, ce qui est un outil puissant pour la résolution des équations aux dérivées partielles, les phénomènes sont souvent fort différents ; par exemple, il n’y a plus toujours unicité pour l’équation de chaleur avec donnée initiale, ou bien les bases orthonormales qui entrent en jeu n’ont rien de semblable : base des exponentielles en dans le cas des séries de Fourier, base des fonctions d’Hermite dans le cas des intégrales de Fourier, etc.
En conséquence, malgré les similitudes entre les deux théories, il semble préférable d’en donner des expositions séparées.
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Transformée de Fourier d’une fonction intégrable
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7. Applications diverses. Prolongements
7.1 Extension de la transformation de Fourier au champ complexe
Un des avantages de la transformation de Fourier est qu’on peut souvent la prolonger au champ complexe, c’est-à-dire que la formule :
a encore un sens pour
, ouvert du plan complexe et y définit une fonction holomorphe.
On peut alors profiter de la très riche théorie des fonctions holomorphes pour recueillir des informations intéressantes sur f et
.
Le mathématicien suédois Garling a, d’ailleurs, énoncé sept règles d’or sur la transformation de Fourier, et l’une d’elles est : « Go to the complex if you can ! » (passez à la variable complexe si possible). Nous allons voir deux illustrations de ce principe, le théorème de Denjoy-Carleman et une version, due à Hardy, du principe d’incertitude d’Heisenberg ; il nous faut d’abord une définition.
Définition 3. Soit
, avec M 0 = 1, une suite croissante de réels > 0 telle que la suite
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - DYM (H.), MC KEAN (H.P.) - Fourier Series and Integrals. - Academic Press 1972.
-
(2) - FOLLAND (G.) - Introduction to partial differential equations. - Princeton University Press 1976.
-
(3) - KAHANE (J.P.), LEMARIE (P.G.) - Séries de Fourier et ondelettes. - Cassini 1998.
-
(4) - KATZNELSON (Y. ) - An Introduction to Harmonic Analysis. - Wiley and Sons 1968.
-
(5) - KENIG (C.), TOMAS (P.) - Maximal operators defined by Fourier multipliers. - Studia Math. 68 (1980), 79-83.
-
(6) - MEYER (Y.) - Ondelettes. - Hermann 1990.
-
(7) - RUDIN (W.) - Real and Complex Analysis. - Mc...
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