Présentation
Auteur(s)
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Danièle LINO : Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres - Agrégée de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Henri-IV
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Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les fondements du calcul différentiel, l’introduction de la notion de dérivée, les règles opératoires sur les dérivées et le lien entre intégration et dérivation conçues comme opérations inverses l’une de l’autre remontent au dix‐septième siècle et principalement à Newton (1642-1727) et à Leibniz (1647‐1716). C’est ce dernier mathématicien qui introduit la notation dy/dx définissant la dérivée d’une fonction y.
Le théorème de Rolle (1652-1719) date de 1691 et la règle de l’Hospital de 1696. Taylor (1685-1731) énonce en 1715 la formule qui porte son nom. Les formules de Taylor avec reste de Lagrange et reste intégral apparaissent chez Lagrange (1736-1813) démontrées de manière rigoureuse.
Le calcul différentiel à plusieurs variables apparaît au cours de la première moitié du XVIII e siècle. En liaison avec des problèmes physiques (mécanique, hydrodynamique) apparaissent les premières équations aux dérivées partielles. En 1743, d’Alembert (1717-1783) étudie l’équation des oscillations d’une chaîne pesante. En 1746, il écrit l’équation des cordes vibrantes (∂ 2y/ ∂t2 = ∂ 2y/ ∂x 2) qu’il résout quelques années plus tard.
Laplace (1749-1827), à la suite de ses travaux en astronomie, s’intéresse aussi aux équations aux dérivées partielles et tente une première théorie des équations linéaires du second ordre.
Tout au long du XIXe siècle, les mathématicens contribueront à clarifier le calcul différentiel et à lui donner sa vigueur moderne, tandis que l’étude des équations différentielles et aux dérivées partielles reste toujours d’actualité.
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Calcul différentiel sur les applications de plusieurs variables1. Calcul différentiel sur les fonctions d’une seule variable
1.1 Le cadre et les notations
On désigne par E, F, G des espaces vectoriels réels de dimension finie. Ils seront toujours munis d’une norme, notée ││ · ││. Sur un même espace, les normes sont équivalentes et définissent la même topologie, ce qui permet le plus souvent de ne pas préciser la norme utilisée.
On désigne par I, J des intervalles de
non vides, non réduits à un point.
On notera [a, b] le segment d’extrémités a, b, a < b ou a > b.
HAUT DE PAGE1.2 Dérivée
1.2.1 Dérivée, dérivée à gauche, dérivée à droite
Définition 1. Soit f une application définie sur I à valeurs dans E. On dit que f est dérivable en x0 point de I lorsque l’application :
définie sur I – {x0}, admet une limite en x0.
Cette limite est appelée dérivée en x0 et notée f ’ (x0).
C’est un élément de E. On notera également cette dérivée
Définition 2. Soit f une application définie sur I contenant un intervalle [x0 , x1], avec x1 > x0...
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