Présentation
Auteur(s)
-
Danièle LINO : Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres - Agrégée de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Henri-IV
-
Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis
Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.
Lire l’articleINTRODUCTION
Les fondements du calcul différentiel, l’introduction de la notion de dérivée, les règles opératoires sur les dérivées et le lien entre intégration et dérivation conçues comme opérations inverses l’une de l’autre remontent au dix‐septième siècle et principalement à Newton (1642-1727) et à Leibniz (1647‐1716). C’est ce dernier mathématicien qui introduit la notation dy/dx définissant la dérivée d’une fonction y.
Le théorème de Rolle (1652-1719) date de 1691 et la règle de l’Hospital de 1696. Taylor (1685-1731) énonce en 1715 la formule qui porte son nom. Les formules de Taylor avec reste de Lagrange et reste intégral apparaissent chez Lagrange (1736-1813) démontrées de manière rigoureuse.
Le calcul différentiel à plusieurs variables apparaît au cours de la première moitié du XVIII e siècle. En liaison avec des problèmes physiques (mécanique, hydrodynamique) apparaissent les premières équations aux dérivées partielles. En 1743, d’Alembert (1717-1783) étudie l’équation des oscillations d’une chaîne pesante. En 1746, il écrit l’équation des cordes vibrantes (∂ 2y/ ∂t2 = ∂ 2y/ ∂x 2) qu’il résout quelques années plus tard.
Laplace (1749-1827), à la suite de ses travaux en astronomie, s’intéresse aussi aux équations aux dérivées partielles et tente une première théorie des équations linéaires du second ordre.
Tout au long du XIXe siècle, les mathématicens contribueront à clarifier le calcul différentiel et à lui donner sa vigueur moderne, tandis que l’étude des équations différentielles et aux dérivées partielles reste toujours d’actualité.
L'expertise technique et scientifique de référence
DOI (Digital Object Identifier)
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(166 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
Présentation
Calcul différentiel sur les fonctions d’une seule variable3. Applications du calcul différentiel
3.1 Fonctions convexes
Définition 19. Soit f une application définie sur I à valeurs dans
; on dit que f est convexe lorsque pour tout couple (x, y ) de I 2 et pour tout λ de [0, 1], on a :
On dit que f est concave si – f est convexe.
L’inégalité de convexité signifie que le point
de la courbe représentative de f est au-dessous du point de même abscisse situé sur le segment joignant les points (x, f (x )) et (y, f (y )) (figure 5).
Proposition 28
Si f est convexe, on a pour tout n ∊
et tout élément (α1 , ..., αn ) de
et (x1 , ..., xn ) de In :
Preuve ⋄ On utilise l’inégalité donnée dans la définition et on procède par récurrence sur n. ⋄
L'expertise technique et scientifique de référence
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(166 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
Applications du calcul différentiel
L'expertise technique et scientifique de référence
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(166 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
