Bibliographie & annexes
Présentation
Auteur(s)
-
Robert CABANE : Professeur de mathématiques spéciales au lycée Michel-Montaigne (Bordeaux) - Ancien élève de l’École normale supérieure
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Lire l’articleINTRODUCTION
Chacun a vu une fois au moins un plan de métro, une carte de lignes ferroviaires ou aériennes, un plan électrique ou un circuit électronique ; ainsi, tout le monde sait plus ou moins intuitivement ce qu’est un graphe. Toutefois, entre la vague notion d’un schéma incluant des « points » et des « trajets » unissant ces points et la théorie mathématique des graphes, il y a une longue élaboration des concepts, et en particulier le choix d’une terminologie.
Un graphe n’est pas a priori autre chose qu’un ensemble fini de « points » (ses « sommets ») reliés par des « traits » ou des « flèches » (ses « arêtes »).
Nous trouvons aussi des graphes dans deux activités de l’ingénieur : les diagrammes fonctionnels et les problèmes d’ordonnancement des tâches.
On comprendra mieux l’apparition des graphes dans ce dernier problème par un exemple (figure 1). Supposons que cinq équipes de football nommées AB, OR, LF, DT, PZ jouent dans un tournoi. A un certain moment, les matchs joués ont été les suivants :
AB-OR 1-0AB-DT 0-0
AB-LF 1-2OR-PZ 0-0
LF-DT 1-1PZ-DT 2-0
On peut modéliser l’ensemble de ces matchs de manière graphique, comme on le voit dans la figure 1. L’information sur les résultats des matchs n’a pas été reportée, on pourrait l’attacher aux traits (« arêtes » : ce sont les matchs) qui unissent les « sommets » (qui sont ici les équipes). Grâce à cette représentation, on perçoit d’emblée un certain nombre de faits, par exemple le nombre d’équipes en retard.
On trouve aussi une situation de théorie des graphes avec le réseau Internet, dans lequel les sommets sont les fichiers (ou leurs adresses) et les arcs sont les liens entre ces documents.
Un dernier exemple, très différent, peut être trouvé avec la modélisation financière des systèmes internationaux de droits de douane et taxes diverses.
La théorie des graphes est un sujet d’étude relativement récent en Mathéma-tiques. Le texte le plus ancien semble être dû à Euler, en 1736 (dans le problème des ponts de Königsberg, il s’agissait de parcourir les sept ponts sur la rivière Pregel une et seule fois chacun), et le suivant à Monge, en 1781 (à propos d’un problème de déplacement de terre de déblai et de remblai). On remarque ensuite les contributions de Kirkman et Hamilton en 1856 au sujet des parcours désormais appelés chemins hamiltoniens. Mais c’est vers la fin du XIXe siècle, avec Cayley, que la théorie des graphes commença à prendre son essor et à fixer sa terminologie.
Du fait de cette jeunesse, le développement théorique, la mise au point des algorithmes, le choix d’une terminologie ne sont pas entièrement achevés. On trouvera, dans cet article, un exposé de quelques méthodes et applications importantes de la théorie des graphes. Le lecteur trouvera tout le nécessaire pour compléter son information en compulsant les ouvrages fondamentaux de Claude Berge, bien que ceux-ci soient très orientés vers la Combinatoire. Les besoins plus spécifiques de l’Algorithmique sont développés dans des ouvrages plus récents qui sont également cités en bibliographie.
Terminons en signalant que la théorie des graphes est parfois «classée » comme sous-discipline de l’Informatique théorique (en anglais « computer science ») en raison de l’importance des algorithmes, parfois comme sous-discipline des Mathématiques en raison de sa proximité avec la Combinatoire. En réalité, la théorie des graphes se trouve « à la croisée des chemins », entre Mathématiques, Recherche opérationnelle, Informatique et Gestion des réseaux de distribution ou de transport, s’appliquant aussi bien en économie, biologie ou en psychologie.
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Arbres et arborescences4. Chemins et circuits
4.1 Réseaux
Définition 36. Un graphe fortement connexe, sans boucle et ayant plus d’un sommet, est appelé un réseau.
Il en résulte que dans un réseau, pour tout sommet x, il existe au moins deux arcs incidents à x, l’un vers l’intérieur et l’autre vers l’extérieur.
Définition 37.
On appelle nœud d’un réseau un sommet qui a plus de deux arcs incidents. Les autres sommets sont appelés antinœuds.
On appelle branche tout chemin pour lequel seuls les premier et dernier sommets sont des nœuds.
sur la figure 13, les sommets A, B, D, E, F sont des nœuds.
Un sommet qui a deux arcs incidents (un vers l’intérieur, l’autre vers l’extérieur est un antinœud (sommets C, G).
On a les branches suivantes : (E, F), (B, F), (F, B), (B, C, D) et (E, G, E), etc.
Dans un réseau, un chemin de longueur minimale entre un sommet x et un sommet y est appelé piste de x à y. Une piste est un chemin élémentaire, et un réseau possède toujours au moins une piste.
Sur la figure 13, le diamètre est égal à 4, puisque les pistes unissant A et G sont toutes de cette longueur, comme (A, F, D, E, G).
Théorème 15. Soit n le nombre de sommets du réseau, m le nombre d’arcs, δ la valeur du diamètre. On a alors les inégalités :
Preuve.
A tout sommet, on peut associer un arc incident en ce sommet. Cela définit une injection de l’ensemble X dans l’ensemble A des arêtes, donc on a bien :
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Chemins et circuits
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AHO (A.), HOPCROFT (J.), ULLMAN (J.) - Structures de données et algorithmes. - Addison-Wesley/Interéditions 1987.
-
(2) - AHUJA (R.-K.), MAGNANTI (T.-L.), ORLIN (J.-B.) - Network Flows : Theory, Algorithms and Applications (Flots dans les réseaux : théorie, algorithmes et applications). - Prentice Hall (USA), 1993.
-
(3) - AVONDO-BODINO (G.) - Economic Applications of the Theory of Graphs (Applications de la théorie des graphes en économie). - Gordon and Breach (USA), 1962.
-
(4) - BAASE (S.) - Computer Algorithms. Introduction to Design and Analysis (second edition) (Algorithmes informatiques, intro-duction à la conception et l’analyse). - Addison-Wesley. 1978.
-
(5) - BATTERSBY (A.) - Méthodes modernes d’ordonnancement, - volume 11 de Sigma Dunod, 1967.
-
(6) - BERGE (C.), GHOUILA-HOURI - Programmes,...
ANNEXES
Voici quelques adresses électroniques auxquelles une recherche thématique conduit aisément, et à partir desquelles d’autres liens peuvent être suivis. Il convient de rappeler que ces adresses sont tout à fait susceptibles de changer inopinément et ne doivent pas être considérées comme une source aussi fiable que les livres et articles.
C’est cependant par ce canal qu’on trouvera le plus facilement des algorithmes relatifs aux graphes, généralement codés en langage C.
On pourra consulter, par ordre de généralité décroissante :
Un aperçu de la théorie des graphes, par le Laboratoire Leibniz, Institut de mathématiques appliquées de Grenoble. https://ensimag.grenoble-inp.fr/
Les pages de théorie des graphes de Stephen C. Locke, de l’Université de Floride à Boca Raton. http://www.math.fau.edu/locke/graphthe.htm
Un vocabulaire de Théorie des graphes par Chris Caldwell, de l’Université du Tennessee à Martin. http://www.utm.edu/departments/math/graph/glossary.html
Une collection de liens sur le thème du tracé des graphes (Graph Drawing), extraits de Geometry in Action (David Eppstein, Université de Californie à Irvine). http://www. ics.uci.edu./~eppstein/gina/gdraw.html
Des pages sur les problèmes de coloriages des graphes, écrites par Joseph Culberson de l’Université de l’Alberta (Canada). http://www.cs.ualberta.ca/~joe.Coloring/index.html
Un ensemble de pages sur la recherche opérationnelle (Operational Research), créées par J.-E. Beasley de l’Imperial College...
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