Bibliographie & annexes
Présentation
Auteur(s)
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Robert CABANE : Professeur de mathématiques spéciales au lycée Michel-Montaigne (Bordeaux) - Ancien élève de l’École normale supérieure
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Lire l’articleINTRODUCTION
Chacun a vu une fois au moins un plan de métro, une carte de lignes ferroviaires ou aériennes, un plan électrique ou un circuit électronique ; ainsi, tout le monde sait plus ou moins intuitivement ce qu’est un graphe. Toutefois, entre la vague notion d’un schéma incluant des « points » et des « trajets » unissant ces points et la théorie mathématique des graphes, il y a une longue élaboration des concepts, et en particulier le choix d’une terminologie.
Un graphe n’est pas a priori autre chose qu’un ensemble fini de « points » (ses « sommets ») reliés par des « traits » ou des « flèches » (ses « arêtes »).
Nous trouvons aussi des graphes dans deux activités de l’ingénieur : les diagrammes fonctionnels et les problèmes d’ordonnancement des tâches.
On comprendra mieux l’apparition des graphes dans ce dernier problème par un exemple (figure 1). Supposons que cinq équipes de football nommées AB, OR, LF, DT, PZ jouent dans un tournoi. A un certain moment, les matchs joués ont été les suivants :
AB-OR 1-0AB-DT 0-0
AB-LF 1-2OR-PZ 0-0
LF-DT 1-1PZ-DT 2-0
On peut modéliser l’ensemble de ces matchs de manière graphique, comme on le voit dans la figure 1. L’information sur les résultats des matchs n’a pas été reportée, on pourrait l’attacher aux traits (« arêtes » : ce sont les matchs) qui unissent les « sommets » (qui sont ici les équipes). Grâce à cette représentation, on perçoit d’emblée un certain nombre de faits, par exemple le nombre d’équipes en retard.
On trouve aussi une situation de théorie des graphes avec le réseau Internet, dans lequel les sommets sont les fichiers (ou leurs adresses) et les arcs sont les liens entre ces documents.
Un dernier exemple, très différent, peut être trouvé avec la modélisation financière des systèmes internationaux de droits de douane et taxes diverses.
La théorie des graphes est un sujet d’étude relativement récent en Mathéma-tiques. Le texte le plus ancien semble être dû à Euler, en 1736 (dans le problème des ponts de Königsberg, il s’agissait de parcourir les sept ponts sur la rivière Pregel une et seule fois chacun), et le suivant à Monge, en 1781 (à propos d’un problème de déplacement de terre de déblai et de remblai). On remarque ensuite les contributions de Kirkman et Hamilton en 1856 au sujet des parcours désormais appelés chemins hamiltoniens. Mais c’est vers la fin du XIXe siècle, avec Cayley, que la théorie des graphes commença à prendre son essor et à fixer sa terminologie.
Du fait de cette jeunesse, le développement théorique, la mise au point des algorithmes, le choix d’une terminologie ne sont pas entièrement achevés. On trouvera, dans cet article, un exposé de quelques méthodes et applications importantes de la théorie des graphes. Le lecteur trouvera tout le nécessaire pour compléter son information en compulsant les ouvrages fondamentaux de Claude Berge, bien que ceux-ci soient très orientés vers la Combinatoire. Les besoins plus spécifiques de l’Algorithmique sont développés dans des ouvrages plus récents qui sont également cités en bibliographie.
Terminons en signalant que la théorie des graphes est parfois «classée » comme sous-discipline de l’Informatique théorique (en anglais « computer science ») en raison de l’importance des algorithmes, parfois comme sous-discipline des Mathématiques en raison de sa proximité avec la Combinatoire. En réalité, la théorie des graphes se trouve « à la croisée des chemins », entre Mathématiques, Recherche opérationnelle, Informatique et Gestion des réseaux de distribution ou de transport, s’appliquant aussi bien en économie, biologie ou en psychologie.
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Réseaux de transport5. Arbres et arborescences
5.1 Définition des arbres
Définition 41. Un graphe non orienté, connexe, n’ayant aucun circuit (ou cycle) est appelé un arbre.
Un graphe non orienté n’ayant aucun circuit est appelé une forêt.
On dit qu’un sommet x d’un arbre est pendant s’il n’existe qu’une seule arête incidente à ce sommet. On dit qu’une arête est terminale si l’une de ses extrémités est pendante.
Il est évident qu’une forêt a pour composantes connexes des arbres (d’où la terminologie).
Théorème 21. Un arbre admet au moins deux sommets pendants.
Preuve.
Considérons un arbre H n’ayant que 0 ou 1 sommet pendant, et imaginons un voyageur partant d’un sommet quelconque, se déplaçant le long des arêtes de H sans jamais suivre deux fois la même arête. D’une part, ce voyageur ne pourra pas passer deux fois par le même sommet, car H ne contient pas de cycle. D’autre part, si le voyageur parvient à un sommet x, il peut toujours en repartir car x n’est pas pendant. Dans ces conditions, le voyageur poursuit indéfiniment son chemin dans H, ce qui est absurde, H étant fini.
Dans la figure 20, les sommets pendants sont C, D, H, I, J, K, L. Ce sont les sommets de degré 1. On remarque la présence d’un sommet de degré 3 (G) et de sommets de degré 4 (B, E).
Théorème 22. Soit H un graphe ayant n sommets.
Les propositions suivantes sont équivalentes :
a) H est connexe et sans cycle (donc est un arbre) ;
b) H est sans cycle, et admet n – 1 arêtes ;
c) H est connexe, et admet n – 1 arêtes ;
d) H est sans cycle, et, en ajoutant une arête entre deux sommets non adjacents, on crée un cycle et un seul ;
e) H est connexe, et, en supprimant...
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Arbres et arborescences
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AHO (A.), HOPCROFT (J.), ULLMAN (J.) - Structures de données et algorithmes. - Addison-Wesley/Interéditions 1987.
-
(2) - AHUJA (R.-K.), MAGNANTI (T.-L.), ORLIN (J.-B.) - Network Flows : Theory, Algorithms and Applications (Flots dans les réseaux : théorie, algorithmes et applications). - Prentice Hall (USA), 1993.
-
(3) - AVONDO-BODINO (G.) - Economic Applications of the Theory of Graphs (Applications de la théorie des graphes en économie). - Gordon and Breach (USA), 1962.
-
(4) - BAASE (S.) - Computer Algorithms. Introduction to Design and Analysis (second edition) (Algorithmes informatiques, intro-duction à la conception et l’analyse). - Addison-Wesley. 1978.
-
(5) - BATTERSBY (A.) - Méthodes modernes d’ordonnancement, - volume 11 de Sigma Dunod, 1967.
-
(6) - BERGE (C.), GHOUILA-HOURI - Programmes,...
ANNEXES
Voici quelques adresses électroniques auxquelles une recherche thématique conduit aisément, et à partir desquelles d’autres liens peuvent être suivis. Il convient de rappeler que ces adresses sont tout à fait susceptibles de changer inopinément et ne doivent pas être considérées comme une source aussi fiable que les livres et articles.
C’est cependant par ce canal qu’on trouvera le plus facilement des algorithmes relatifs aux graphes, généralement codés en langage C.
On pourra consulter, par ordre de généralité décroissante :
Un aperçu de la théorie des graphes, par le Laboratoire Leibniz, Institut de mathématiques appliquées de Grenoble. https://ensimag.grenoble-inp.fr/
Les pages de théorie des graphes de Stephen C. Locke, de l’Université de Floride à Boca Raton. http://www.math.fau.edu/locke/graphthe.htm
Un vocabulaire de Théorie des graphes par Chris Caldwell, de l’Université du Tennessee à Martin. http://www.utm.edu/departments/math/graph/glossary.html
Une collection de liens sur le thème du tracé des graphes (Graph Drawing), extraits de Geometry in Action (David Eppstein, Université de Californie à Irvine). http://www. ics.uci.edu./~eppstein/gina/gdraw.html
Des pages sur les problèmes de coloriages des graphes, écrites par Joseph Culberson de l’Université de l’Alberta (Canada). http://www.cs.ualberta.ca/~joe.Coloring/index.html
Un ensemble de pages sur la recherche opérationnelle (Operational Research), créées par J.-E. Beasley de l’Imperial College...
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