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Rached MNEIMNÉ : Maître de conférences à l’Université Paris VII, Denis-Diderot - Agrégé en mathématiques - Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud
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L’algèbre linéaire naît historiquement du besoin de fonder sur des bases solides l’étude des systèmes d’équations linéaires, mais, également, de celui de saisir ce qui survit à la géométrie d’Euclide, une fois gommé l’effet des translations, et, éventuellement, oubliée l’idée de distance. La réduction des endomorphismes n’apparaît que plus tard, et c’est lors de l’examen des équations différentielles à singularités régulières (théorie de Fuchs) que C. Jordan aborde la réduction qui portera son nom.
L’algèbre linéaire se développe petit à petit en une spécialité digne d’intérêt en elle-même, et devient, au sens élémentaire du terme, la « science » qui s’occupe de matrices ou encore d’espaces vectoriels et d’applications linéaires entre ces espaces vectoriels. Les objectifs de base se réduisent, grosso modo, à l’examen de quatre, voire cinq, principales relations d’équivalence définies entre matrices. Il s’agit en fait :
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de la r-équivalence (A = PBQ) ;
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de la PG-équivalence (A = PB), qui fonde la première des sources historiques évoquées ci-dessus (PG comme pivot de Gauss) ;
-
de la similitude (A = PBP –1), qui est l’objet de notre étude ;
-
de la congruence (A = PBtP).
Une autre relation établit enfin certains liens entre similitude et congruence ; elle est donnée par la similitude orthogonale
A = OBO –1 = OBtO.Il va s’agir dès lors de chercher à dégager des critères d’appartenance ou de non-appartenance à une classe d’équivalence donnée, à défaut de pouvoir toujours donner une description explicite de ces classes. La présentation adoptée ici fait libre usage du langage des groupes opérant, chaque classe étant une orbite sous l’action du groupe adéquat à la situation.
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Pour la similitude, deux aspects sont à prendre en compte.
Un aspect classique consiste, une fois choisie une matrice A d’ordre n à coefficients dans le corps
, à trouver dans sa classe de similitude une matrice ayant une forme simple (diagonale, quand c’est possible, ou, à défaut, tridiagonale ou triangulaire, etc.), et l’on dit alors la réduire, puis trouver un élément du groupe linéaire GL(n,
) qui « transporte » A vers sa forme simple considérée, et l’on parle alors de matrice de passage. Cela correspond, pour l’endomorphisme de
canoniquement associé à A, à un changement de base.
Le deuxième aspect, qui se développe actuellement aux côtés du premier, consiste en l’examen, pour une matrice donnée A, de la géométrie de sa classe de similitude regardée comme un tout, mais aussi de la géométrie de l’ensemble de toutes les classes de similitude, c’est-à-dire l’espace des orbites.
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L’étude de la réduction soulève de nombreux problèmes d’algorithmique ou d’approximation, dus essentiellement au fait que le calcul des valeurs propres passe, dans un premier temps, par le calcul d’un déterminant à coefficients polynomiaux (le polynôme caractéristique) et dans un second temps par le « calcul » de ses racines. Des résolutions de systèmes linéaires et des inversions de matrices sont également à prendre en considération. C’est la réduction des endomorphismes « effective ».
Enfin, le chapitre de la réduction s’articule sur le chapitre de la réduction des formes quadratiques (la relation de congruence pour les matrices symétriques). C’est le problème de la réduction des opérateurs symétriques dans les espaces euclidiens ou, plus généralement, des opérateurs normaux dans les espaces hermitiens. Similitude et congruence dépendent différemment de la nature du corps de base. La réduction des endomorphismes fait peu intervenir la nature du corps (polynôme caractéristique scindé ou pas) alors que la congruence et les résultats qui s’y rattachent dépendent énormément de l’arithmétique du corps. On se contentera, sauf exception, de regarder la similitude dans les cas de
et de
.
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Quelques applications classiques, en physique ou ailleurs, de la similitude devraient être ici évoquées. Les axes d’inertie d’un solide ou les états propres d’un système de masses avec ressorts illustrent les idées subtiles de la théorie mais ne sont pas des exemples fondamentaux d’application ; on se limitera en fait à l’exemple des ressorts de Trubowitz. On laissera également de côté l’intervention de la réduction dans la théorie de Fuchs. Enfin, on se doit d’indiquer que l’étude des systèmes dynamiques et de la nature de leurs points d’équilibre (pendule, circuit RLC, ressort avec frottements, etc.), étude qui se fait au niveau du système linéaire associé, dépend largement de la réduction des endomorphismes et, notamment, des signes des parties réelles des valeurs propres de la matrice associée.
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11. Matrices de Hessenberg
11.1 Généralités
Une matrice de Hessenberg est une matrice telle que tous les termes au dessous de sa sous-diagonale sont nuls. Elle est dite H-régulière si tous les termes de sa sous-diagonale sont non nuls. Elle est évidemment triangulaire (supérieure) si tous les coefficients de sa sous-diagonale sont nuls.
L’intérêt pratique des matrices de Hessenberg est double :
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d’abord, leurs déterminants, comme leurs polynômes caractéristiques, se calculent facilement ;
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surtout, toute matrice est (de façon effective et quel que soit le corps de base) semblable à une matrice de Hessenberg.
Ce dernier point s’établit grâce à des opérations élémentaires simultanées (c’est-à-dire de façon à rester dans la même classe de similitude) sur les lignes et les colonnes : pour peu que la première colonne soit non nulle (sinon on passe à la suivante), on peut, par une permutation éventuelle (simultanée) des lignes et colonnes, supposer que le terme b21 est non nul. A partir de là, on annule, par des opérations élémentaires sur les lignes, tous les termes de la première colonne qui se trouvent en dessous et on effectue au fur et à mesure les opérations (simultanées) sur les colonnes.
Comme, durant ce processus, la première ligne n’est pas modifiée mais surtout n’intervient pas, les opérations simultanées correspondantes sur les colonnes n’affectent pas la première colonne et l’on se retrouve avec une matrice semblable à celle de départ mais ayant une première colonne comme il faut (on notera que c’est pour cela que l’on ne peut obtenir la trigonalisation – qui suppose d’ailleurs le corps de base algébriquement clos – en usant d’un processus analogue).
Le processus poursuivi établit notre propos. Cela donne, par exemple, avec des matrices d’ordre 3 les écritures suivantes, où l’on a supposé
:
Une matrice est semblable à une matrice de Hessenberg H-régulière si, et seulement si,...
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Matrices de Hessenberg
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ADKINS (A.), WEINTRAUB (S.) - Algebra. An Introduction via module Theory, - Springer 1992. ISBN 0-387-97839-9.
-
(2) - CHAMBADAL (L.), OVAERT (J.-L.) - Algèbre linéaire et algèbre tensorielle - , Dunod 1968.
-
(3) - FRENEL (J.) - Algèbre des matrices, - Hermann 1997. ISBN 2-7056-1439-7.
-
(4) - GLAZMAN (I.), LIUBITCH (Y.) - Analyse linéaire dans les espaces de dimensions finies, - Éditions Mir 1974.
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(5) - GOBLOT (R.) - Algèbre linéaire, - Scientifika 1994. ISBN 2-909894-49-5.
-
(6) - HORN (R.), JOHNSON (C.) - Topics in matrix analysis, - Cambridge University Press 1991. ISBN 0-521-46713-6.
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