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Auteur(s)
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Rached MNEIMNÉ : Maître de conférences à l’Université Paris VII, Denis-Diderot - Agrégé en mathématiques - Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud
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L’algèbre linéaire naît historiquement du besoin de fonder sur des bases solides l’étude des systèmes d’équations linéaires, mais, également, de celui de saisir ce qui survit à la géométrie d’Euclide, une fois gommé l’effet des translations, et, éventuellement, oubliée l’idée de distance. La réduction des endomorphismes n’apparaît que plus tard, et c’est lors de l’examen des équations différentielles à singularités régulières (théorie de Fuchs) que C. Jordan aborde la réduction qui portera son nom.
L’algèbre linéaire se développe petit à petit en une spécialité digne d’intérêt en elle-même, et devient, au sens élémentaire du terme, la « science » qui s’occupe de matrices ou encore d’espaces vectoriels et d’applications linéaires entre ces espaces vectoriels. Les objectifs de base se réduisent, grosso modo, à l’examen de quatre, voire cinq, principales relations d’équivalence définies entre matrices. Il s’agit en fait :
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de la r-équivalence (A = PBQ) ;
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de la PG-équivalence (A = PB), qui fonde la première des sources historiques évoquées ci-dessus (PG comme pivot de Gauss) ;
-
de la similitude (A = PBP –1), qui est l’objet de notre étude ;
-
de la congruence (A = PBtP).
Une autre relation établit enfin certains liens entre similitude et congruence ; elle est donnée par la similitude orthogonale
A = OBO –1 = OBtO.Il va s’agir dès lors de chercher à dégager des critères d’appartenance ou de non-appartenance à une classe d’équivalence donnée, à défaut de pouvoir toujours donner une description explicite de ces classes. La présentation adoptée ici fait libre usage du langage des groupes opérant, chaque classe étant une orbite sous l’action du groupe adéquat à la situation.
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Pour la similitude, deux aspects sont à prendre en compte.
Un aspect classique consiste, une fois choisie une matrice A d’ordre n à coefficients dans le corps
, à trouver dans sa classe de similitude une matrice ayant une forme simple (diagonale, quand c’est possible, ou, à défaut, tridiagonale ou triangulaire, etc.), et l’on dit alors la réduire, puis trouver un élément du groupe linéaire GL(n,
) qui « transporte » A vers sa forme simple considérée, et l’on parle alors de matrice de passage. Cela correspond, pour l’endomorphisme de
canoniquement associé à A, à un changement de base.
Le deuxième aspect, qui se développe actuellement aux côtés du premier, consiste en l’examen, pour une matrice donnée A, de la géométrie de sa classe de similitude regardée comme un tout, mais aussi de la géométrie de l’ensemble de toutes les classes de similitude, c’est-à-dire l’espace des orbites.
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L’étude de la réduction soulève de nombreux problèmes d’algorithmique ou d’approximation, dus essentiellement au fait que le calcul des valeurs propres passe, dans un premier temps, par le calcul d’un déterminant à coefficients polynomiaux (le polynôme caractéristique) et dans un second temps par le « calcul » de ses racines. Des résolutions de systèmes linéaires et des inversions de matrices sont également à prendre en considération. C’est la réduction des endomorphismes « effective ».
Enfin, le chapitre de la réduction s’articule sur le chapitre de la réduction des formes quadratiques (la relation de congruence pour les matrices symétriques). C’est le problème de la réduction des opérateurs symétriques dans les espaces euclidiens ou, plus généralement, des opérateurs normaux dans les espaces hermitiens. Similitude et congruence dépendent différemment de la nature du corps de base. La réduction des endomorphismes fait peu intervenir la nature du corps (polynôme caractéristique scindé ou pas) alors que la congruence et les résultats qui s’y rattachent dépendent énormément de l’arithmétique du corps. On se contentera, sauf exception, de regarder la similitude dans les cas de
et de
.
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Quelques applications classiques, en physique ou ailleurs, de la similitude devraient être ici évoquées. Les axes d’inertie d’un solide ou les états propres d’un système de masses avec ressorts illustrent les idées subtiles de la théorie mais ne sont pas des exemples fondamentaux d’application ; on se limitera en fait à l’exemple des ressorts de Trubowitz. On laissera également de côté l’intervention de la réduction dans la théorie de Fuchs. Enfin, on se doit d’indiquer que l’étude des systèmes dynamiques et de la nature de leurs points d’équilibre (pendule, circuit RLC, ressort avec frottements, etc.), étude qui se fait au niveau du système linéaire associé, dépend largement de la réduction des endomorphismes et, notamment, des signes des parties réelles des valeurs propres de la matrice associée.
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Calcul de la dimension du commutant
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7. Familles particulières de matrices. Les matrices de la classe δ
Le sous-espace Ker M 2 a une dimension qui varie entre deux bornes : la dimension de Ker A et son double. Les matrices telles que
Ker A = Ker A2et les matrices telles que
dim(Ker A2) = 2 dim(Ker A)forment deux familles qui méritent une attention particulière. Les propositions suivantes donnent quelques propriétés caractéristiques de l’une ou l’autre de ces deux familles. Il est bon de garder à l’esprit la suite exacte
7.1 Une première famille
Proposition 4.
Soit A une matrice complexe non inversible. Les propriétés suivantes sont équivalentes.
a) Ker A2 = Ker A.
b) Le tableau de Young TY(A ; 0) de A relatif à la valeur propre nulle comporte une seule colonne.
c) 0 est racine simple du polynôme minimal.
d) La suite des noyaux itérés s’arrête à Ker A.
e) La multiplicité géométrique de la valeur propre 0 est égale à sa multiplicité algébrique.
f) La décomposition de Jordan de A dans sa partie associée à la valeur propre 0 ne comporte que des cellules de taille 1.
g) rg (A) = rg (A2).
h) L’espace E est somme directe de Ker A et de Im A.
i) La matrice A est diagonalisable par rapport à sa valeur propre 0.
j) La matrice A s’écrit comme produit de deux matrices singulières qui sont des polynômes en A.
k) La matrice A admet une racine qui est un polynôme en A.
l) La matrice A est annulée par un polynôme qui admet 0 comme racine simple.
m) La matrice A est semblable à une matrice
, où P est inversible.
Il est clair qu’une matrice est diagonalisable si, et seulement si, pour toute valeur propre λ, la matrice A – λI vérifie...
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Familles particulières de matrices. Les matrices de la classe δ
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - ADKINS (A.), WEINTRAUB (S.) - Algebra. An Introduction via module Theory, - Springer 1992. ISBN 0-387-97839-9.
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(2) - CHAMBADAL (L.), OVAERT (J.-L.) - Algèbre linéaire et algèbre tensorielle - , Dunod 1968.
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(3) - FRENEL (J.) - Algèbre des matrices, - Hermann 1997. ISBN 2-7056-1439-7.
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(4) - GLAZMAN (I.), LIUBITCH (Y.) - Analyse linéaire dans les espaces de dimensions finies, - Éditions Mir 1974.
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(6) - HORN (R.), JOHNSON (C.) - Topics in matrix analysis, - Cambridge University Press 1991. ISBN 0-521-46713-6.
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