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Auteur(s)
-
Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les polynômes sont, d’une part, un outil privilégié de l’algèbre, d’autre part, un moyen commode et puissant d’investigation en analyse. Dans les deux cas, les racines des polynômes en une indéterminée jouent un rôle fondamental, soit dans le cadre arithmético-algébrique des extensions de corps, soit dans les nombreux problèmes numériques liés à l’approximation par des polynômes : interpolation, résolution d’équations numériques, par exemple. Bien entendu, de nombreux autres domaines sont concernés : recherche des valeurs propres d’une matrice et, partant, étude des systèmes dynamiques discrets ou continus, linéaires ou non ; arithmétique traditionnelle, géométrie complexe, géométrie algébrique réelle en sont des spécimens.
L’objet de cet article est de donner quelques outils assez généraux liés à la localisation, la séparation ou l’estimation des racines de polynômes, essentiellement à coefficients réels ou complexes. Seules les méthodes spécifiques aux polynômes seront étudiées, celles qui s’appliquent dans des situations plus générales faisant l’objet d’un autre article.
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Estimation des racines
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2. Localisation des racines
Dans ce paragraphe 2, le corps de base est tantôt
, tantôt
.
2.1 Taille d’un polynôme
Un polynôme P de
[X ] peut être apprécié de différentes façons. S’il s’agit de le stocker dans un tableau, deux paramètres seront à prendre en compte :
-
son degré, qui mesure la taille du tableau ;
-
la taille de ses coefficients.
S’agissant de ces derniers, la situation sera différente selon que ce sont des entiers, des rationnels, des réels ou des complexes. Ces quatre situations peuvent être appariées de façon à se résumer à deux seulement, puisqu’un rationnel n’est jamais qu’un couple d’entiers et un complexe un couple de réels.
Dans la première situation, on aura le choix entre deux possibilités :
-
ou bien conserver un polynôme à coefficients entiers ;
-
ou bien considérer un polynôme à coefficients rationnels, que l’on pourra alors choisir unitaire.
Dans la seconde situation, on pourrait systématiquement se ramener à des polynômes à coefficients réels, quitte à considérer
(
étant le conjugué de P ). Dans tous les...
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