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Auteur(s)
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Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’´École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les polynômes permettent de résumer les calculs de base sur les nombres : somme, produit, élévation à une puissance entière. C’est la raison pour laquelle ils se sont si tôt introduits comme outils naturels des mathématiques. Formellement, ils sont utilisés comme des schémas universels pour ces calculs, puisque, par substitution, ils permettent de réaliser tout calcul concret à partir de manipulation abstraite.
Dans cet article, nous n’abordons que les propriétés élémentaires de type algébrique ou arithmétique. Nous nous limiterons aux situations les plus simples, en particulier en ce qui concerne les polynômes irréductibles et la recherche des racines. Les extensions naturelles de l’étude des polynômes sont la géométrie algébrique réelle, objet de nombreux développement actuels, l’étude des polynômes sur les corps finis, très liés aux codages et, dans une mesure plus abstraite, la géométrie algébrique complexe.
En outre, une étude plus poussée des méthodes numériques de localisation, de séparation et d’approximation des racines réelles ou complexes fera l’objet d’un autre article.
L’article présent suppose connu l’article « Langage des ensembles et des structures » et est à mettre en relation avec les articles relatifs à l’algèbre commutative.
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Présentation
Polynômes irréductibles
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1. Propriétés formelles
1.1 Polynômes à plusieurs indéterminées
Dans tout ce paragraphe 1.1, on désigne par
un anneau commutatif. Le neutre pour l’addition est noté « 0 », le neutre pour la multiplication est noté « 1 ». Le produit de deux éléments x et y de
sera, le plus souvent, noté xy.
1.1.1 Présentation de l'algèbre des polynômes en n indéterminées
Soit n un entier naturel. Un élément
est un n-uplet
. On utilisera la somme de deux tels n-uplets :
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