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En anglais
Auteur(s)
-
Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’´École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les polynômes permettent de résumer les calculs de base sur les nombres : somme, produit, élévation à une puissance entière. C’est la raison pour laquelle ils se sont si tôt introduits comme outils naturels des mathématiques. Formellement, ils sont utilisés comme des schémas universels pour ces calculs, puisque, par substitution, ils permettent de réaliser tout calcul concret à partir de manipulation abstraite.
Dans cet article, nous n’abordons que les propriétés élémentaires de type algébrique ou arithmétique. Nous nous limiterons aux situations les plus simples, en particulier en ce qui concerne les polynômes irréductibles et la recherche des racines. Les extensions naturelles de l’étude des polynômes sont la géométrie algébrique réelle, objet de nombreux développement actuels, l’étude des polynômes sur les corps finis, très liés aux codages et, dans une mesure plus abstraite, la géométrie algébrique complexe.
En outre, une étude plus poussée des méthodes numériques de localisation, de séparation et d’approximation des racines réelles ou complexes fera l’objet d’un autre article.
L’article présent suppose connu l’article « Langage des ensembles et des structures » et est à mettre en relation avec les articles relatifs à l’algèbre commutative.
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Propriétés formelles
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2. Polynômes irréductibles
Puisque, lorsque l’anneau
est factoriel, l’étude de la divisibilité se ramène à la décomposition d’un polynôme en facteurs irréductibles, il est essentiel de pouvoir déterminer les polynômes irréductibles d’un anneau de polynômes. Cette question ne peut pas être abordée sans une connaissance préalable de
. Très souvent,
sera d’ailleurs un corps. Nous discuterons donc des polynômes irréductibles en relation étroite avec l’anneau
.
2.1 Racines d’un élément du corps K
Dans ce paragraphe 2.1,
désigne un corps.
2.1.1 Corps algébriquement clos
Dans
, un polynôme de degré 1 est toujours irréductible, car un diviseur non constant est aussi de degré 1, donc est associé au polynôme initial.
Définition 5. On dit qu’un corps est algébriquement clos lorsque les polynômes irréductibles sont ceux de degré un.
Autrement dit, il n’y a pas d’autre polynôme irréductible que ceux qui sont de degré 1.
Proposition 13.
Soit
...
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