Présentation
Langage des ensembles et des structures

C’est certainement à Bourbaki que l’on doit, en France et dans le monde, l’utilisation universelle du langage moderne des mathématiques élémentaires que constitue la théorie des ensembles et des structures. Bien entendu, il ne s’agit là que d’une diffusion à large échelle, par le biais de l’enseignement dont les élèves de Bourbaki ont été le vecteur dans les universités et jusque dans les lycées, d’idées que les mathématiciens professionnels reconnaissaient comme leurs depuis de nombreuses décennies. Cette diffusion n’a été rendue possible que par l’ergonomie de ce langage, qui permet de manipuler clairement et sans effort des objets variés des mathématiques.

On ne devrait cependant pas penser que ce langage, qui est devenu naturel aux utilisateurs des mathématiques, soit sorti tout armé de la pratique des mathématiciens.

• Le concept de fonction ou d’application, par exemple, a été élaboré par tâtonnements successifs au cours du XIX^e siècle, au moment où les mathématiciens tentaient d’intégrer les fonctions. Au début sommes de séries entières, les fonctions devinrent vite seulement continues (Cauchy), puis le produit de constructions de plus en plus élaborées (sommes de séries uniformément, puis simplement convergentes) et, dans cette complexité croissante, se dérobèrent toujours davantage à l’intuition, géométrique en particulier. La notion moderne d’application (objet permettant d’associer, de manière arbitraire, un élément unique de l’ensemble d’arrivée à un élément quelconque de l’ensemble de départ) naquit, en fait, de la volonté de faire entrer dans un même cadre des objets à première vue disparates.

• Une autre motivation puissante à donner un nouveau cadre aux mathématiques fut l’étude des séries trigonométriques et des séries de Fourier. Dans la première moitié du XIX^e siècle, certains mathématiciens s’intéressent au problème suivant : une série trigonométrique étant nulle en certains points, peut-on en déduire que les coefficients de cette série sont nuls ? C’est en étudiant ce problème que Cantor est conduit à construire des sous-ensembles de $ℝ$ ...