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Auteur(s)
-
Pascal MARONI : Docteur ès sciences mathématiques - Directeur de recherche au CNRS
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Après les fonctions eulériennes qui interviennent de façon universelle, ce sont sans aucun doute les fonctions hypergéométriques – la fonction de Gauss et les fonctions confluentes – qui fournissent les exemples les plus simples de la mise en œuvre des processus fondamentaux de l’analyse. En effet, la fonction de Gauss, définie par une série entière, apparaît comme une généralisation naturelle de la série géométrique et relève ainsi des méthodes de la théorie des fonctions analytiques. On peut en dire autant des fonctions confluentes, en particulier de la fonction de Kummer qui généralise, elle, la fonction exponentielle.
Bien qu’elles soient étudiées à part, les fonctions de Bessel constituent un cas particulier notable des fonctions hypergéométriques confluentes dans la mesure où l’on pourrait décrire toutes leurs propriétés à partir de ces dernières.
Toutes ces fonctions ont en commun le fait d’être respectivement solutions d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients polynomiaux : l’équation de Gauss, l’équation de Kummer et l’équation de Bessel. Ce fait est à l’origine de toutes les propriétés importantes des fonctions envisagées. Il est aussi responsable de l’extraordinaire développement de la littérature au sujet des fonctions hypergéométriques, surtout à l’égard des fonctions de Bessel, car c’est par l’intermédiaire de l’équation différentielle que celles-ci apparaissent dans de nombreux problèmes de la physique mathématique (électrodynamique, théorie des vibrations, théorie de la chaleur), lorsque l’on pratique, pour résoudre l’équation en cause, la méthode dite de séparation des variables.
Dans ce qui suit, nous nous plaçons délibérément sur un terrain élémentaire, en essayant toutefois d’être rigoureux. Sans prétendre à l’exhaustivité – et de loin –, la matière traitée permet une première compréhension des problèmes et donne la possibilité d’aborder, plus aguerris, les ouvrages spécialisés indiqués à la fin de cet article.
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Fonctions de Bessel
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1. Fonctions hypergéométriques
Dans cette partie, nous nous appuyons sur les ouvrages de Lebedev [1] et de Tricomi [2].
1.1 Fonction de Gauss
1.1.1 La série hypergéométrique et son prolongement analytique
Par définition, on appelle série hypergéométrique la série entière :
( 1 )
avec :
- z :
- ∈
![]()
- α, β, γ :
- paramètres réels ou complexes quelconques (sous réserve que γ ≠ –n,
![]()
)
- (λ)n :
- symbole désignant (λ)0 = 1 ;
)
de sorte que :
Lorsque α ou β est un entier négatif ou nul, la série se réduit à un polynôme. En dehors de ce cas, le rayon de convergence de la série est égal à un, comme on le voit facilement à l’aide du critère de d’Alembert. La somme de la série [1] est appelée fonction hypergéométrique ou fonction de Gauss et notée...
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Fonctions hypergéométriques
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - LEBEDEV (N.N.) - Special functions and their applications, - Dover (1972).
-
(2) - TRICOMI (F.G.) - Fonctions hypergéométriques confluentes. - Mémorial des sciences mathématiques 140, Gauthier-Villars (1960).
-
(3) - COPSON (E.T.) - An introduction to the theory of functions of a complex variable. - Oxford University Press (1935) (réimprimé en 1970).
-
(4) - CARTAN (H.) - Théorie élémentaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes. - Hermann (1961).
-
(5) - DIEUDONNÉ (J.) - Calcul infinitésimal. - Hermann (1968).
-
(6) - GOSTIAUX (B.) - Cours de mathématiques spéciales, tome 2 Topologie, analyse réelle ; tome 3 Analyse fonctionnelle et calcul différentiel. - PUF (1993).
- ...
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