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Auteur(s)
-
Pascal MARONI : Docteur ès sciences mathématiques - Directeur de recherche au CNRS
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Après les fonctions eulériennes qui interviennent de façon universelle, ce sont sans aucun doute les fonctions hypergéométriques – la fonction de Gauss et les fonctions confluentes – qui fournissent les exemples les plus simples de la mise en œuvre des processus fondamentaux de l’analyse. En effet, la fonction de Gauss, définie par une série entière, apparaît comme une généralisation naturelle de la série géométrique et relève ainsi des méthodes de la théorie des fonctions analytiques. On peut en dire autant des fonctions confluentes, en particulier de la fonction de Kummer qui généralise, elle, la fonction exponentielle.
Bien qu’elles soient étudiées à part, les fonctions de Bessel constituent un cas particulier notable des fonctions hypergéométriques confluentes dans la mesure où l’on pourrait décrire toutes leurs propriétés à partir de ces dernières.
Toutes ces fonctions ont en commun le fait d’être respectivement solutions d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients polynomiaux : l’équation de Gauss, l’équation de Kummer et l’équation de Bessel. Ce fait est à l’origine de toutes les propriétés importantes des fonctions envisagées. Il est aussi responsable de l’extraordinaire développement de la littérature au sujet des fonctions hypergéométriques, surtout à l’égard des fonctions de Bessel, car c’est par l’intermédiaire de l’équation différentielle que celles-ci apparaissent dans de nombreux problèmes de la physique mathématique (électrodynamique, théorie des vibrations, théorie de la chaleur), lorsque l’on pratique, pour résoudre l’équation en cause, la méthode dite de séparation des variables.
Dans ce qui suit, nous nous plaçons délibérément sur un terrain élémentaire, en essayant toutefois d’être rigoureux. Sans prétendre à l’exhaustivité – et de loin –, la matière traitée permet une première compréhension des problèmes et donne la possibilité d’aborder, plus aguerris, les ouvrages spécialisés indiqués à la fin de cet article.
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Fonctions hypergéométriques
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2. Fonctions de Bessel
2.1 Fonctions de Bessel d’ordre entier
Considérons la fonction suivante et son développement de Laurent au voisinage de l’origine :
On a G (z, –t ) = G (z, t –1), ce qui entraîne J–n (z ) = (–1)n Jn (z ),
. Il suffit ainsi de connaître Jn pour
. En faisant le produit de :
et
on trouve le développement suivant, en accord avec [80] où ν = n :
( 83 )
La série converge dans tout le plan et représente ainsi une fonction entière. On la nomme fonction de Bessel d’indice ou d’ordre entier de première espèce.
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Fonctions de Bessel
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - LEBEDEV (N.N.) - Special functions and their applications, - Dover (1972).
-
(2) - TRICOMI (F.G.) - Fonctions hypergéométriques confluentes. - Mémorial des sciences mathématiques 140, Gauthier-Villars (1960).
-
(3) - COPSON (E.T.) - An introduction to the theory of functions of a complex variable. - Oxford University Press (1935) (réimprimé en 1970).
-
(4) - CARTAN (H.) - Théorie élémentaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes. - Hermann (1961).
-
(5) - DIEUDONNÉ (J.) - Calcul infinitésimal. - Hermann (1968).
-
(6) - GOSTIAUX (B.) - Cours de mathématiques spéciales, tome 2 Topologie, analyse réelle ; tome 3 Analyse fonctionnelle et calcul différentiel. - PUF (1993).
- ...
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