Évaluation du prix d’une option européenne dans un modèle de marché complet à volatilité locale et sous probabilité de risque neutre
Mathématiques financières : évaluation de produits dérivés

Le congrès international Bachelier World Congress est organisé tous les deux ans par la Bachelier Finance Society depuis l’année 2000. Cette conférence est un rendez-vous incontournable où se rencontrent les meilleurs spécialistes des mathématiques financières. Elle porte le nom de Louis Bachelier, mathématicien francais, à qui l’on attribue la naissance d’un nouveau domaine des mathématiques, appliquées à la finance, en introduisant les marches aléatoires pour modéliser les prix, avant même que les fondations mathématiques de la théorie des probabilités soient définitivement fixées. Toutefois, avant Bachelier, il semble que Jules Regnault, agent de change à la Bourse de Paris, soit le premier à proposer de modéliser les variations des prix par des marches aléatoires dans son ouvrage Calcul des chances et philosophie de la bourse (voir ).

Le 29 mars 1900, Louis Bachelier soutient sa thèse de doctorat, dirigée par Henri Poincaré. L’originalité de ses travaux réside dans l’utilisation du mouvement brownien pour la première fois afin de modéliser les variations des prix d’un actif financier. Le mouvement brownien tire son nom d’un botaniste écossais, Richard brown, qui observait l’agitation de particules de pollen en suspension dans l’eau. Un peu plus tard en 1905, Einstein et Jean Perrin utiliseront le mouvement brownien afin d’estimer le nombre d’Avogadro .

C’est le mathématicien américain Norbert Wiener qui donne entre 1920 et 1924 une définition mathématique rigoureuse à cet objet mathématique qu’est le mouvement brownien, qu’on appelle également processus de Wiener. Il s’agit d’une loi (de variable aléatoire) dont les valeurs possibles sont des trajectoires continues ${\left(W_t\right)}_{t\in \left[0,\infty \right)}$ dépendant du temps t ≥ 0 et dont les variations $W_{t_2}-W_{t_1},\mathrm{\hspace{0.17em}}{t}_2>t_1\ge 0$ , sont indépendantes du passé (avant t ₁) et normalement distribuées. Précisément, $W_{t_2}-W_{t_1}$ est une gaussienne d’espérance nulle et de variance σ ²(t ₂ − t ₁) où σ > 0 est fixé.

L’essor des mathématiques financières n’a lieu véritablement que 70 ans plus tard. En 1973, l’article de Black et Scholes et les travaux de Merton constituent le socle fondateur de la finance quantitative, telle qu’on la connaît aujourd’hui. En 1997, le prix Nobel sera décerné à Scholes et Merton seulement, Black étant malheureusement décédé en 1995. Le modèle de Black et Scholes est clairement le modèle le plus connu des spécialistes de la finance et est largement utilisé dans l’industrie bancaire. Ce modèle, et surtout l’approche qui y est développée, sont devenus un standard pour des modèles plus sophistiqués et marquent un tournant décisif dans le développement des mathématiques financières. Il suffit de regarder des trajectoires simulées du mouvement brownien géométrique, tel qu’il est utilisé dans le modèle de Black et Scholes pour modéliser la dynamique des prix d’un actif financier, et de le comparer à l’allure des courbes de prix d’actions en bourse, pour comprendre ce choix de modélisation.

Les travaux de Black, Scholes et Merton constituent la seconde révolution après ceux de Bachelier dans le monde des mathématiques financières. On n’oublie pas non plus la théorie en gestion de portefeuilles de Harry Markowitz, économiste et prix Nobel 1990, développée dans sa thèse en 1954, considérée plutôt comme de l’économie mathématique que de la finance. Ces travaux ont contribué au développement de nouvelles théories, tout en les nourrissant, au delà de la théorie des probabilités, comme le calcul stochastique d’Ito, la théorie des semi-martingales, la théorie de l’arbitrage, les équations différentielles stochastiques, le contrôle stochastique mais aussi, plus récemment, la théorie des jeux à champ moyen (Mean Field Game).

Dans cet article, on va présenter l’approche classique qui prévaut depuis Black et Scholes pour évaluer le prix d’un produit dérivé, comme une option dite européenne qu’on aura l’occasion de découvrir. Pour cela, on va considérer des marchés en temps discret puis continu, principalement sans coûts de transaction même si l’on évoquera cette possibilité parmi les travaux de recherche récents sur le sujet. Cette approche repose sur une hypothèse d’équilibre des marchés financiers dans le sens d’absence d’opportunité d’arbitrage (NA, No Arbitrage) telle qu’elle sera définie dans notre article. La condition NA est caractérisée grâce au très célèbre théorème fondamental d’évaluation des actifs (FTAP, Fundamental Theorem of Asset Pricing), comme essentiellement équivalente à la nature martingale du processus des prix. Elle permet de résoudre mathématiquement le problème de réplication, et de sur-réplication plus généralement, d’un payoff terminal. On conclura en mentionnant des modèles plus sophistiqués de la recherche moderne en mathématiques financières. Le contenu qui suit est simplifié au maximum pour le rendre accessible au plus grand nombre mais des références sont fournies si vous souhaitez aller plus loin.