Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Dans cet article, on passe en revue les ingrédients les plus importants des méthodes sans maillage. Ces méthodes constituent une réelle révolution depuis la publication de «Element-free Galerkin Methods» par T. Belytschko en 1994, et un formidable effort de recherche a été fourni pour ce qui a été considéré comme une révolution des sciences de l’ingénieur reposant sur la simulation. Les éléments finis sont établis depuis de nombreuses années, mais les efforts investis dans le développement des méthodes sans maillage nous ont permis tout d’abord de mettre en œuvre des simulations sans précédent, et aussi, ce qui est plus important encore, de mieux connaître les éléments finis: leurs avantages, leurs limitations, et comment surpasser une multitude d’entre elles.
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In this article we review the most important ingredients of what are termed meshless methods. These methods were to revolutionize engineering after the publication of Element-free Galerkin Methods by T. Belytschko in 1994, and a tremendous research effort was made in what seemed a breakthrough in simulation-based engineering sciences. Finite elements will be here to stay for many years; meanwhile, all the efforts made in developing meshless methods have enabled us to develop unprecedented simulations, and even more importantly, to gain fuller knowledge of finite elements and their advantages, chart their limitations, and show how these can in many cases be overcome.
Auteur(s)
-
Elías CUETO : Professeur des Universités - Aragon Institute of Engineering Research, Universidad de Zaragoza, Zaragoza, Espagne
-
Francisco CHINESTA : Professeur des Universités - Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique, École Centrale de Nantes, Nantes, France
INTRODUCTION
Il est bien connu depuis les débuts des éléments finis que la distorsion du maillage conduit à un manque important de précision dans les simulations. La génération du maillage est certainement la tâche la plus coûteuse dans la construction d’un modèle de simulation, si bien qu’éviter d’avoir à mailler, ou même à remailler, a été considéré comme un objectif attractif à atteindre, qui a semblé hors d’atteinte pendant des décennies.
Les méthodes sans maillage sont précisément nées pour essayer de contrer ce manque de précision issu de la distorsion du maillage, et pour essayer de minimiser la pénible étape qu’est la construction du maillage. Dans leur essence, les méthodes sans maillage sont des techniques de simulation (basées soit sur les approches par collocation soit de type Galerkin, bien que nous allons nous concentrer principalement sur les méthodes de type Galerkin) qui n’ont pas besoin de maillage pour approximer les champs du problème (champ de déplacement pour la mécanique du solide, champ de vitesse pour la mécanique des fluides, champ de température pour les problèmes thermiques…).
Après quelques années d’une intense activité, ponctuées de nombreux succès, la communauté des chercheurs a pensé que les méthodes sans maillage remplaceraient un jour les éléments finis dans nos codes commerciaux. Aujourd’hui on sait que cela ne sera pas le cas (à moins qu’une révolution complètement inattendue n’émerge dans le domaine), et les éléments finis ont tout pour perdurer, bien que les méthodes sans maillage ont permis de faire des simulations sans précédents dans des domaines tels que les écoulements à surface libre, fracture et fragmentation, les procédés entraînant de très grandes transformations, etc.
De plus, les méthodes sans maillage ont grandement aidé à comprendre les fondements mathématiques des éléments finis, et à construire de meilleures approximations avec moins d’intervention de la part de l’utilisateur.
Dans cet article, nous passons en revue les aspects les plus pertinents des méthodes sans maillage et, alors que la bibliographie existante est plutôt conséquente, nous fournissons les références les plus importantes pour le lecteur intéressé, enclin à poursuivre la lecture et l’apprentissage dans ce domaine fascinant.
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KEYWORDS
meshless methods | natural elements methods | maximum entropy
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Présentation
L’âge d’or des méthodes sans maillage (1998-2005)
En anglais
2. Les premières années des méthodes sans maillage (1992-1998)
La méthode des éléments finis (MEF) a acquis toute son importance dans les dernières décennies, autant dans le milieu académique qu’industriel, et est indubitablement l’approche générale la plus largement répandue pour approximer les solutions d’EDP sur des domaines complexes. La méthode des éléments finis a démontré être un outil puissant qui fournit des résultats précis pour une large gamme de problèmes et d’applications. Cependant, son principal défaut est le fréquent et lourd besoin de définir un maillage approprié pour le problème étudié. Récemment, il y a eu une tentative de passer outre cette tâche pénible d’élaboration/adaptation du maillage via à la fois l’utilisation de puissants générateurs automatiques de maillage et de méthodes sans maillage. Ces dernières, bien que n’ayant pas besoin d’informations concernant la connectivité, nécessitent normalement un maillage de fond pour l’intégration (excepté lorsqu’une intégration aux nœuds est utilisée). Une large diversité de méthodes sans maillage a été développée et appliquée à de multiples domaines de la mécanique numérique, basée aussi bien sur une approche par collocation que sur une implémentation de type Galerkin.
Les avantages des méthodes sans maillage sont particulièrement importants pour certains phénomènes spécifiques, comme les changements conséquents et fréquents de la géométrie (propagation de fissure, procédé de mise en forme entraînant des grandes transformations géométriques, et même topologiques, problèmes d’écoulement à surface libre ou mobile, etc.). Ils sont aussi très utiles pour modéliser des domaines issus de la reconstruction de volumes (i.e. biomécanique, matériaux composites…). Dans ce cadre, on considère usuellement des géométries complexes qui ne sont pas définies par une approche standard CAD, mais par des données issues de la tomographie, de l’imagerie par résonance magnétique (IRM) ou de techniques de mesures laser 3D. Pour ces dernières, les données résultantes sont en général des données basées sur des points et sans aucune connectivité. Établir un maillage EF approprié à partir de ces données n’est pas immédiat.
La première méthode était la méthode SPH (Smoothed...
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Les premières années des méthodes sans maillage (1992-1998)
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - GINGOLD (R.), MONAHAN (J.J) - Smoothed Particle Hydrodynamics: Theory and applications to non-spherical Stars. - Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 181, 375-389.
-
(2) - LISZKA (T.), ORKISZ (J) - The Finite Difference Method at Arbitrary Irregular Grids and its Application in Applied Mechanics. - Computers and Structures 11:83-95. 1980.
-
(3) - NAYROLES (B.), TOUZOT (G.), VILLON (P.) - Generalizing the Finite Element Method: Diffuse Approximation and Diffuse Elements. - Computational Mechanics 10: 307-318. 1992.
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(4) - BELYTSCHKO (T.), LU (Y.Y.), GU (L.) - Element-Free Galerkin Methods. - International Journal for Numerical Methods in Engineering, 37:229-256,1994.
-
(5) - LIU (W.K.), JUN (S.), LI (S.), ADEE (J.), BELYTSCHKO (T.) - Reproducing Kernel Particle Methods. - International Journal for Numerical Methods in Engineering Vol. 38, pp. 1655-1679, 1995.
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DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
-
Approche variationnelle pour la méthode des éléments finis.
-
Introduction à la méthode des éléments finis.
-
Présentation générale de la méthode des éléments finis.
ANNEXES
LS-Dyna, Livermore Software Technology Corporation. Inclus des modules (Element Free Galerkin) et (Smooth Particle Hydrodynamics).
http://www.lstc.com/products/ls-dyna
NoGrid GmbH. http://www.nogrid.com
Spheric, une page dédiée au monde des SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) : https://wiki.manchester.ac.uk/spheric/index.php/SPH_Projects_and_Codes
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