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RÉSUMÉ
Dans cet article, on passe en revue les ingrédients les plus importants des méthodes sans maillage. Ces méthodes constituent une réelle révolution depuis la publication de «Element-free Galerkin Methods» par T. Belytschko en 1994, et un formidable effort de recherche a été fourni pour ce qui a été considéré comme une révolution des sciences de l’ingénieur reposant sur la simulation. Les éléments finis sont établis depuis de nombreuses années, mais les efforts investis dans le développement des méthodes sans maillage nous ont permis tout d’abord de mettre en œuvre des simulations sans précédent, et aussi, ce qui est plus important encore, de mieux connaître les éléments finis: leurs avantages, leurs limitations, et comment surpasser une multitude d’entre elles.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Elías CUETO : Professeur des Universités - Aragon Institute of Engineering Research, Universidad de Zaragoza, Zaragoza, Espagne
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Francisco CHINESTA : Professeur des Universités - Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique, École Centrale de Nantes, Nantes, France
INTRODUCTION
Il est bien connu depuis les débuts des éléments finis que la distorsion du maillage conduit à un manque important de précision dans les simulations. La génération du maillage est certainement la tâche la plus coûteuse dans la construction d’un modèle de simulation, si bien qu’éviter d’avoir à mailler, ou même à remailler, a été considéré comme un objectif attractif à atteindre, qui a semblé hors d’atteinte pendant des décennies.
Les méthodes sans maillage sont précisément nées pour essayer de contrer ce manque de précision issu de la distorsion du maillage, et pour essayer de minimiser la pénible étape qu’est la construction du maillage. Dans leur essence, les méthodes sans maillage sont des techniques de simulation (basées soit sur les approches par collocation soit de type Galerkin, bien que nous allons nous concentrer principalement sur les méthodes de type Galerkin) qui n’ont pas besoin de maillage pour approximer les champs du problème (champ de déplacement pour la mécanique du solide, champ de vitesse pour la mécanique des fluides, champ de température pour les problèmes thermiques…).
Après quelques années d’une intense activité, ponctuées de nombreux succès, la communauté des chercheurs a pensé que les méthodes sans maillage remplaceraient un jour les éléments finis dans nos codes commerciaux. Aujourd’hui on sait que cela ne sera pas le cas (à moins qu’une révolution complètement inattendue n’émerge dans le domaine), et les éléments finis ont tout pour perdurer, bien que les méthodes sans maillage ont permis de faire des simulations sans précédents dans des domaines tels que les écoulements à surface libre, fracture et fragmentation, les procédés entraînant de très grandes transformations, etc.
De plus, les méthodes sans maillage ont grandement aidé à comprendre les fondements mathématiques des éléments finis, et à construire de meilleures approximations avec moins d’intervention de la part de l’utilisateur.
Dans cet article, nous passons en revue les aspects les plus pertinents des méthodes sans maillage et, alors que la bibliographie existante est plutôt conséquente, nous fournissons les références les plus importantes pour le lecteur intéressé, enclin à poursuivre la lecture et l’apprentissage dans ce domaine fascinant.
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Maturité des méthodes sans maillage (2005-…)
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3. L’âge d’or des méthodes sans maillage (1998-2005)
3.1 Comprendre l’approximation : les méthodes de partition de l’unité
À la recherche d’une méthode capable de généraliser celles reposant sur les méthodes de type MLS et toujours capable de fournir des approximations avec un ordre de consistance et de régularité arbitraires, Babuska et Melenk ont développé une approximation qu’ils ont appelée méthode de partition de l’unité (PUM en anglais) , construite via :
où les
sont les inconnues. La base pj est composée de monômes jusqu’à un certain degré et de quelques fonctions additionnelles qui dépendent du problème étudié. Les fonctions
sont des fonctions quelconques représentant une partition de l’unité, i.e.
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L’âge d’or des méthodes sans maillage (1998-2005)
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - GINGOLD (R.), MONAHAN (J.J) - Smoothed Particle Hydrodynamics: Theory and applications to non-spherical Stars. - Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 181, 375-389.
-
(2) - LISZKA (T.), ORKISZ (J) - The Finite Difference Method at Arbitrary Irregular Grids and its Application in Applied Mechanics. - Computers and Structures 11:83-95. 1980.
-
(3) - NAYROLES (B.), TOUZOT (G.), VILLON (P.) - Generalizing the Finite Element Method: Diffuse Approximation and Diffuse Elements. - Computational Mechanics 10: 307-318. 1992.
-
(4) - BELYTSCHKO (T.), LU (Y.Y.), GU (L.) - Element-Free Galerkin Methods. - International Journal for Numerical Methods in Engineering, 37:229-256,1994.
-
(5) - LIU (W.K.), JUN (S.), LI (S.), ADEE (J.), BELYTSCHKO (T.) - Reproducing Kernel Particle Methods. - International Journal for Numerical Methods in Engineering Vol. 38, pp. 1655-1679, 1995.
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...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
LS-Dyna, Livermore Software Technology Corporation. Inclus des modules (Element Free Galerkin) et (Smooth Particle Hydrodynamics).
http://www.lstc.com/products/ls-dyna
NoGrid GmbH. http://www.nogrid.com
Spheric, une page dédiée au monde des SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) : https://wiki.manchester.ac.uk/spheric/index.php/SPH_Projects_and_Codes
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