Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
Auteur(s)
-
Pierre SPITERI : Docteur ès sciences mathématiques - Professeur à l’École nationale supérieure d’électronique, d’électrotechnique, d’informatique, d’hydraulique et de télécommunication de Toulouse
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Lire l’articleINTRODUCTION
Lans l’article , nous avons abordé la résolution numérique de problèmes d’équations aux dérivées partielles stationnaires par la méthode des différences finies. Cette méthode peut être étendue à la résolution de problèmes d’évolution. Nous étudierons deux types de problèmes : d’une part les problèmes d’évolution du premier ordre en temps, dénommés également problèmes paraboliques et d’autre part les problèmes d’évolution du second ordre en temps, dénommés également problèmes hyperboliques . Les équations intervenant dans ces problèmes sont constituées pour partie d’une combinaison de dérivées partielles par rapport à la variable temporelle dont nous détaillerons le traitement numérique et pour partie d’une combinaison de dérivées partielles par rapport à la variable spatiale ; cette dernière partie a été traitée en détail dans l’article , le problème pouvant être posé dans un domaine Ω, monodimensionnel, bidimensionnel ou tridimensionnel ; pour simplifier l’exposé nous considérerons que le domaine est le segment [0, 1], le cas bi et tridimensionnel ne présentant pas de difficultés majeures.
On rappelle que l’étude sur la méthode des différences finies pour résoudre des équations aux dérivées partielles se décompose en trois articles :
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Problèmes du second ordre en temps. Équation des ondes
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1. Problèmes du premier ordre en temps. Équation de la chaleur
1.1 Position du problème
On considère une barre métallique de longueur unité ; on suppose que cette barre est soumise à un apport de chaleur f (x, t ) par unité de longueur et de temps et que, de plus, la température u (x, t ) de la barre est maintenue à zéro à chacune de ses extrémités. On désigne par C la capacité thermique et par K le coefficient de diffusion de chaleur ; rappelons que le coefficient de diffusion de chaleur exprime qu’en tous les points de la barre les températures ont tendance à s’uniformiser. En supposant que la dimension transversale de la barre est négligeable par rapport à sa dimension longitudinale, la modélisation de ce problème conduit à déterminer u (x, t ) en chaque point x ∈ [0, 1] et pour tout instant t ∈ [0, T ], T représentant l’horizon d’intégration, solution de l’équation de la chaleur :
avec :
- u0 (x ) :
- température initiale de la barre.
Remarque
Les conditions aux limites de type Dirichlet homogènes u (0, t ) = u (1, t ) = 0 correspondent, évidemment, au fait que les extrémités de la barre sont maintenues à une température nulle. On rencontre aussi des conditions aux limites de type Neumann représentées par des équations du type :
ces conditions exprimant que le flux de chaleur en chaque extrémité de la barre est fixé. Bien entendu, on peut aussi rencontrer, en fonction de la réalité physique, d’autres types de conditions aux limites, comme température fixée à une extrémité de la barre et flux de chaleur fixé à l’autre par exemple, ce qui correspond à des conditions aux limites de type mêlées Dirichlet-Neumann.
Remarque
Dans le...
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Problèmes du premier ordre en temps. Équation de la chaleur
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - LASCAUX (P.), THEODOR (R.) - Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. - Tomes 1 et 2, Masson (1986).
-
(2) - RICHTMYER (R.D.), MORTON (K.W.) - Difference methods for initial value problems. - John Wiley and Sons (1967).
-
(3) - CUVELIER (C.), DESCLOUX (J.), RAPPAZ (J.) - Éléments d’équations aux dérivées partielles pour ingénieurs. - Tomes 1 et 2, Presses Polytechniques Romandes (1988).
-
(4) - EUVRARD (D.) - Résolution numérique des équations aux dérivées partielles de la physique, de la mécanique et des sciences de l’ingénieur. - Masson (1988).
-
(5) - LE POURHIET (A.) - Résolution numérique des équations aux dérivées partielles : une première approche. - Cépadues Édition (1988).
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(6)...
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