Laplacien dans l’espace entier ou dans un domaine avec frontières
Équations aux dérivées partielles - Partie 1

Il s’agit d’une théorie motivée par la description de phénomènes distribués. Il y a donc au moins une (et souvent plusieurs) variable(s) d’espace et le temps. Contrastant en cela avec la dynamique du point matériel élaborée par Newton et Leibniz dans la deuxième moité du 17^e siècle, cette théorie a vu (probablement) le jour avec Euler et d’Alembert quelques 70 ans plus tard, et Laplace encore 40 ans après.

On parle d’équations d’évolution quand le temps est présent et d’équations stationnaires sinon. Comme pour les équations différentielles, les inconnues (solutions à trouver) ne sont pas uniquement des valeurs numériques mais des fonctions. Fonctions qui dépendent elles-mêmes de fonctions : par exemple pour des problèmes décrits dans des domaines différents de l’espace entier, les conditions aux limites, réalisées elles-mêmes par des fonctions définies sur le bord, jouent un rôle essentiel.

On peut plus ou moins classer les équations aux dérivées partielles (EDP) en catégories elliptique, parabolique et hyperbolique, mais cette classification, qui n’apparaîtra pas dans notre exposé, n’est vraiment rigoureuse que pour des équations linéaires à coefficients constants. Il nous semble donc préférable de garder à l’esprit qu’il existe des problèmes modèles (en petit nombre d’ailleurs) et que l’on attribue les mêmes noms aux équations qui leur ressemblent. Enfin il est important de remarquer que la richesse d’une équation correspond à la variété des domaines où elle s’applique.

C’est donc selon nous un trait particulier de la théorie qu’un « petit » nombre d’équations soit présent.

On peut se demander s’il y a une raison à cela. Il faut tout de suite remarquer que les EDP sont en quelque sorte couplées à une phénoménologie soit sous-jacente (modèles microscopiques ou autres), soit asymptotique (compatibilité avec modèle macroscopique), qui font que le véritable moteur de leur élaboration repose en général sur nombre de principes de symétries et conservations, qui perdurent d’un modèle à l’autre.

Naturellement on a tout d’abord cherché des solutions explicites (noyau de Poisson, de la chaleur, utilisation des transformées de Laplace et de Fourier...). Mais on s’est vite rendu compte que, encore plus que pour les équations différentielles ordinaires, les cas où les solutions s’écrivaient de manière explicite étaient exceptionnels. Néanmoins ces exemples demeurent instructifs, malgré deux nouveaux outils qui ont introduit des points de vue différents : d’une part l’émergence de l’analyse fonctionnelle qui fournit des informations sur l’existence, l’unicité et la stabilité de solutions sans qu’il soit besoin de recourir à leur calcul explicite, et d’autre part l’apparition des calculs sur ordinateurs qui, eux aussi, suppléent à l’absence d’information analytique.

Bien qu’Euler pressentait, pour la mécanique des fluides, la notion de solution faible, c’est avec l’intégrale de Lebesgue et les distributions de Schwartz que les théorèmes de l’analyse fonctionnelle deviennent ici vraiment opérant.

Nous nous proposons de présenter des résultats modernes de la théorie, en généralisant entre autres les situations liminaires que sont les équations différentielles ordinaires et le calcul matriciel.