Bibliographie & annexes
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En anglais
RÉSUMÉ
Les équations aux dérivées partielles (EDP) sont des équations dont les inconnues (solutions à trouver) ne sont pas uniquement des valeurs numériques mais des fonctions, fonctions qui dépendent elles-mêmes d'autres fonctions. Les EDP sont très présentes dans les sciences, apparaissant en dynamique des structures, en mécanique des fluides ou encore électromagnétisme. Dans cet article, seront présentés certains résultats modernes de la théorie, en généralisant entre autres les situations liminaires (?) que sont les équations différentielles ordinaires et le calcul matriciel.
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Partial differential equations (PDEs) are equations the unknowns of which (solutions to be found) are not only numerical values but functions which depend themselves on other functions. The PDEs have a strong presence in science and are to be found in structural dynamics, fluid mechanics or electromagnetism. This article presents several modern results of the theory, by generalizing amongst others introductory (?) situations such as ordinary differential equations and matrix calculation.
Auteur(s)
-
Claude BARDOS : Professeur émériteLaboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie
-
Thierry PAUL : Directeur de recherche CNRSCentre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
INTRODUCTION
Il s’agit d’une théorie motivée par la description de phénomènes distribués. Il y a donc au moins une (et souvent plusieurs) variable(s) d’espace et le temps. Contrastant en cela avec la dynamique du point matériel élaborée par Newton et Leibniz dans la deuxième moité du 17e siècle, cette théorie a vu (probablement) le jour avec Euler et d’Alembert quelques 70 ans plus tard, et Laplace encore 40 ans après.
On parle d’équations d’évolution quand le temps est présent et d’équations stationnaires sinon. Comme pour les équations différentielles, les inconnues (solutions à trouver) ne sont pas uniquement des valeurs numériques mais des fonctions. Fonctions qui dépendent elles-mêmes de fonctions : par exemple pour des problèmes décrits dans des domaines différents de l’espace entier, les conditions aux limites, réalisées elles-mêmes par des fonctions définies sur le bord, jouent un rôle essentiel.
On peut plus ou moins classer les équations aux dérivées partielles (EDP) en catégories elliptique, parabolique et hyperbolique, mais cette classification, qui n’apparaîtra pas dans notre exposé, n’est vraiment rigoureuse que pour des équations linéaires à coefficients constants. Il nous semble donc préférable de garder à l’esprit qu’il existe des problèmes modèles (en petit nombre d’ailleurs) et que l’on attribue les mêmes noms aux équations qui leur ressemblent. Enfin il est important de remarquer que la richesse d’une équation correspond à la variété des domaines où elle s’applique.
C’est donc selon nous un trait particulier de la théorie qu’un « petit » nombre d’équations soit présent.
On peut se demander s’il y a une raison à cela. Il faut tout de suite remarquer que les EDP sont en quelque sorte couplées à une phénoménologie soit sous-jacente (modèles microscopiques ou autres), soit asymptotique (compatibilité avec modèle macroscopique), qui font que le véritable moteur de leur élaboration repose en général sur nombre de principes de symétries et conservations, qui perdurent d’un modèle à l’autre.
Naturellement on a tout d’abord cherché des solutions explicites (noyau de Poisson, de la chaleur, utilisation des transformées de Laplace et de Fourier...). Mais on s’est vite rendu compte que, encore plus que pour les équations différentielles ordinaires, les cas où les solutions s’écrivaient de manière explicite étaient exceptionnels. Néanmoins ces exemples demeurent instructifs, malgré deux nouveaux outils qui ont introduit des points de vue différents : d’une part l’émergence de l’analyse fonctionnelle qui fournit des informations sur l’existence, l’unicité et la stabilité de solutions sans qu’il soit besoin de recourir à leur calcul explicite, et d’autre part l’apparition des calculs sur ordinateurs qui, eux aussi, suppléent à l’absence d’information analytique.
Bien qu’Euler pressentait, pour la mécanique des fluides, la notion de solution faible, c’est avec l’intégrale de Lebesgue et les distributions de Schwartz que les théorèmes de l’analyse fonctionnelle deviennent ici vraiment opérant.
Nous nous proposons de présenter des résultats modernes de la théorie, en généralisant entre autres les situations liminaires que sont les équations différentielles ordinaires et le calcul matriciel.
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Équation de la chaleur
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4. Formulation variationnelle
4.1 Introduction et formalisme
Dans Ω ouvert borné de Rn, on considère la solution du problème de Dirichlet :
Cette solution existe et est unique, ne serait ce que parce que − Δ avec condition de Dirichlet sur le bord définit un opérateur autoadjoint positif dans L2(Ω). Maintenant, en multipliant l'équation précédente par une fonction v quelconque mais régulière et nulle sur le bord, on obtient :
Ce qui peut s’interpréter comme la solution d’un problème de représentation de formes sesquilinéaires par le théorème de Riesz. On introduit l’espace de Sobolev H1(Ω) des fonctions L2(Ω) dont les dérivées partielles premières au sens des distributions appartiennent aussi à L2(Ω) avec le produit scalaire défini par le premier membre, noté ((., .)). On note
le sous-espace (fermé) des fonctions nulles sur ∂Ω. On démontre que ce sous-espace coïncide avec l’adhérence pour la norme H1(Ω) des fonctions régulières à support compact dans Ω. Enfin
définit une application antilinéaire continue sur H1(Ω). Avec ce formalisme on observe que trouver la solution est équivalent à déterminer l’unique fonction
telle que l’on ait
Ainsi l’existence...
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Formulation variationnelle
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - ARNOL’D (V.) - Méthodes mathématiques de la mécanique classique - MIR, Moscou (1976).
-
(2) - ALINHAC (S.), GERARD (P.) - Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser - InterÉditions-CNRS, Paris (1991).
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(3) - BEREZIN (F.), SHUBIN (M.) - The Schrödinger equation - Kluwer, London (1991).
-
(4) - BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle : théorie et applications - Masson, Paris (1983).
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(5) - CERCIGNANI (C.) - Ludwig Boltzmann : the man who trusted atoms - Oxford University Press, Oxford (1998).
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(6) - COURANT (R.), HILBERT (D.) - Methods of mathematical physics - Interscience Publishers, New-York (1953).
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