À la découverte des méthodes spectrales

Les méthodes spectrales, en tant que technique de discrétisation d’équations aux dérivées partielles, ont été introduites il y a près d’un demi-siècle dans une série de papiers par Steve Orszag (voir par exemple  ) ainsi que dans . Elles ont connu un essor important grâce au livre de David Gottlieb et Steve Orszag  où les bases de leur généralisation à d’autres approximations que celles de fonctions périodiques par séries de Fourier ont été jetées. Elles sont caractérisées par les deux points suivants :

• l’approximation par des polynômes de haut degré ;

• l’utilisation de bases tensorisées de polynômes.

Un autre aspect de cette évolution est que l’emploi de l’algorithme de transformation de Fourier rapide, important il y a encore une quinzaine d’années, est passé depuis au second plan dû à l’augmentation de la puissance de calcul et l’amélioration des algorithmes de multiplication matricielle.

Comme beaucoup d’autres discrétisations à l’heure actuelle, les méthodes spectrales font appel à la formulation variationnelle du problème initial, et le problème discret est le plus souvent construit par méthode de Galerkin, de sorte que l’erreur entre la solution exacte et la solution approchée est du même ordre que l’erreur de meilleure approximation dans l’espace discret. L’approximation par des polynômes de degré élevé mène à une discrétisation d’ordre infini, au sens suivant : si N désigne le degré des polynômes utilisés dans la discrétisation, l’erreur a priori se comporte comme N^−σ, où σ peut être aussi grand que la régularité de la solution le permet. Le fait d’utiliser des bases tensorisées conduit à une simplification mathématique et surtout numérique : en effet, le coût du produit matrice-vecteur dans l’implémentation de ces méthodes est grandement réduit, ce qui diminue le coût de calcul. L’inconvénient correspondant est que les domaines de base pour les méthodes spectrales sont tensorisés (un rectangle ou un parallélépipède rectangle, par exemple), ce qui oblige à traiter les géométries plus complexes par décomposition ou transformation du domaine.

Nous présentons d’abord les outils fondamentaux : la méthode repose principalement sur l’emploi de bases associées à des polynômes orthogonaux (section 1). Nous expliquons ensuite comment discrétiser une équation elliptique modèle (section 2), l’extension à des problèmes plus réalistes étant facile. Puis nous décrivons le traitement de géométries complexes (section 3) et l’extension à des équations instationnaires (section 4). Nous concluons par des remarques sur la mise en œuvre de tous ces problèmes (section 5). Pour plus de précisions sur ces méthodes, le lecteur peut consulter    .