Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Les méthodes spectrales, en tant que technique de discrétisation d’équations aux dérivées partielles, ont été introduites il y a près d’un demi-siècle. La méthode repose principalement sur l’emploi de bases associées à des polynômes orthogonaux. La discrétisation d’une équation elliptique modèle est ensuite expliquée, l’extension à des problèmes plus réalistes étant facile. Puis le traitement de géométries complexes est décrit, ainsi que l’extension à des équations instationnaires. Pour conclure, quelques remarques sur la mise en œuvre de tous ces problèmes.
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Spectral methods, as discretization techniques of equations with partial derivatives, were introduced around a half century ago. Principally, the method is based on the use of bases associated with orthogonal polynomials. The discretization of an elliptic equation is then explained, which can be easily extended to more realistic problems. The treatment of complex geometries is then described, as well as the extension to instationary equations. To conclude, certain remarks are made on the implementation of all these problems.
Auteur(s)
-
Christine BERNARDI : Directrice de recherche au CNRS - Laboratoire Jacques-Louis Lions, UMR 7598 - Université Pierre et Marie Curie, Paris 6
-
Yvon MADAY : Professeur - Laboratoire Jacques-Louis Lions, UMR 7598 - Université Pierre et Marie Curie, Paris 6 - Institut universitaire de France
INTRODUCTION
Les méthodes spectrales, en tant que technique de discrétisation d’équations aux dérivées partielles, ont été introduites il y a près d’un demi-siècle dans une série de papiers par Steve Orszag (voir par exemple ) ainsi que dans . Elles ont connu un essor important grâce au livre de David Gottlieb et Steve Orszag où les bases de leur généralisation à d’autres approximations que celles de fonctions périodiques par séries de Fourier ont été jetées. Elles sont caractérisées par les deux points suivants :
-
l’approximation par des polynômes de haut degré ;
-
l’utilisation de bases tensorisées de polynômes.
Un autre aspect de cette évolution est que l’emploi de l’algorithme de transformation de Fourier rapide, important il y a encore une quinzaine d’années, est passé depuis au second plan dû à l’augmentation de la puissance de calcul et l’amélioration des algorithmes de multiplication matricielle.
Comme beaucoup d’autres discrétisations à l’heure actuelle, les méthodes spectrales font appel à la formulation variationnelle du problème initial, et le problème discret est le plus souvent construit par méthode de Galerkin, de sorte que l’erreur entre la solution exacte et la solution approchée est du même ordre que l’erreur de meilleure approximation dans l’espace discret. L’approximation par des polynômes de degré élevé mène à une discrétisation d’ordre infini, au sens suivant : si N désigne le degré des polynômes utilisés dans la discrétisation, l’erreur a priori se comporte comme N−σ, où σ peut être aussi grand que la régularité de la solution le permet. Le fait d’utiliser des bases tensorisées conduit à une simplification mathématique et surtout numérique : en effet, le coût du produit matrice-vecteur dans l’implémentation de ces méthodes est grandement réduit, ce qui diminue le coût de calcul. L’inconvénient correspondant est que les domaines de base pour les méthodes spectrales sont tensorisés (un rectangle ou un parallélépipède rectangle, par exemple), ce qui oblige à traiter les géométries plus complexes par décomposition ou transformation du domaine.
Nous présentons d’abord les outils fondamentaux : la méthode repose principalement sur l’emploi de bases associées à des polynômes orthogonaux (section 1). Nous expliquons ensuite comment discrétiser une équation elliptique modèle (section 2), l’extension à des problèmes plus réalistes étant facile. Puis nous décrivons le traitement de géométries complexes (section 3) et l’extension à des équations instationnaires (section 4). Nous concluons par des remarques sur la mise en œuvre de tous ces problèmes (section 5). Pour plus de précisions sur ces méthodes, le lecteur peut consulter .
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Conclusion
En anglais
5. Mise en œuvre de la discrétisation
Nous allons donner l’expression des polynômes de Lagrange et de leurs dérivées pour construire les matrices de dérivation première et seconde. Nous en aurons besoin pour écrire le système algébrique à inverser pour résoudre par exemple l’équation (18).
5.1 Assemblage des matrices
Pour
, on désigne par hi le polynôme de Lagrange caractéristique du i-ième point de Gauss-Lobatto : ce polynôme vérifie hi (ξj) = δij,
, où δ... est le symbole de Kronecker. Il est facile de vérifier que ce polynôme satisfait, pour tout ζ ≠ ξi dans Λ :
( 75 )
Sa dérivée est
( 76 )
Soit Ω le carré Λ2. Le problème (18) repose sur la connaissance des valeurs de f aux points de
, que nous allons noter fij. Les inconnues...
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Mise en œuvre de la discrétisation
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ABRAMOWITZ (M.), STEGUN (I.A.) - Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables, vol. 55 of National Bureau of Standards Applied Mathematics Series - For sale by the Superintendent of Documents, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C. (1964).
-
(2) - BERNARDI (C.), DAUGE (M.), MADAY (Y.) - Spectral methods for axisymmetric domains, vol. 3 of Series in Applied Mathematics (Paris) - Gauthier-Villars, Éditions Scientifiques et Médicales Elsevier, Numerical algorithms and tests due to Mejdi Azaïez, Paris (1999).
-
(3) - BERNARDI (C.), MADAY (Y.), PATERA (A.T.) - A new nonconforming approach to domain decomposition : the mortar element method - In Nonlinear partial differential equations and their applications. Collège de France Seminar, Vol. XI (Paris, 1989-1991), vol. 299 of Pitman Res. Notes Math. Ser. Longman Sci. Tech., Harlow, pp. 13-51 (1994).
-
(4) - BERNARDI (C.), MADAY (Y.) - Polynomial approximation of some singular functions - Appl. Anal. 42, 1, 1-32 (1991).
-
(5) - BERNARDI (C.), MADAY (Y.) - Approximations spectrales de problèmes...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
Code Nektar – Implémentation de méthodes d'éléments spectraux sur base de tétraèdres http://www.cfm.brown.edu/people/tcew/nektar.html
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