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Auteur(s)
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Jean AUVRAY : Ingénieur de l’École nationale supérieure de physique, chimie industrielle (ESPCI) - Docteur ès sciences - Professeur à l’Université Pierre-et-Marie-Curie (Paris-VI)
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Nous présentons deux méthodes de synthèse des filtres récursifs (ou à réponse impulsionnelle infinie) :
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par équivalence de la dérivation ;
-
par équivalence de l’intégration, c’est la transformation bilinéaire.
Ces filtres sont surtout utilisés pour transposer des cellules dont la fonction de transfert analogique est bien connue, par exemple des filtres de Butterworth ou de Tchebytchev. Ils mettent en œuvre un nombre réduit de coefficients donc se prêtent bien à un calcul rapide mais ils sont très sensibles aux erreurs sur les coefficients et peuvent devenir instables.
Nous aborderons également le cas des filtres à algorithme rapide qui ne sont pas très performants, mais restent intéressants car ils ne nécessitent que peu de calcul et peuvent tourner à des fréquences élevées sur des machines modestes.
Depuis quelques années la sensibilité des filtres numériques aux erreurs sur les coefficients a fait l’objet de nombreuses recherches et des structures moins sensibles ont été proposées. Nous citerons quelques exemples de filtres en échelle et en treillis.
Enfin, il est de moins en moins coûteux de disposer d’un transformateur de Fourier rapide (FFT) qu’il est tentant de mettre à profit pour effectuer le filtrage d’un signal. La transformation de Fourier est malheureusement une transformation opérant sur le signal pris dans son ensemble. L’algorithme de FFT travaille au contraire sur des tronçons de signal de durée limitée, or le découpage du signal en morceaux introduit des régimes transitoires parasites qu’il n’est pas toujours possible d’éliminer. Il existe cependant une méthode utilisable pour des filtres à réponse impulsionnelle finie qui sera décrite dans cet article.
Cet article s’insère dans une série consacrée à la pratique du filtrage :
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Pratique du filtrage. Introduction [R 1 100] ;
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Pratique du filtrage. Filtrage analogique [R 1 102] ;
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Pratique du filtrage. Filtrage numérique. Filtres transverses [R 1 105] ;
-
Pratique du filtrage. Filtrage numérique. Filtres récursifs [R 1 106].
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Filtrage par transformée de Fourier
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1. Filtres à réponse impulsionnelle infinie, filtres récursifs
La structure récursive permet, avec un faible nombre de coefficients, de réaliser des fonctions de transfert performantes. Cependant ces fonctions de transfert en z possèdent des pôles et leur stabilité n’est pas automatique. La fonction de transfert d’un filtre RII (à réponse impulsionnelle infinie) est très sensible aux erreurs sur les coefficients et cela d’autant plus que son degré est élevé. En pratique, il est difficile d’assurer la stabilité d’un tel filtre avec des coefficients sur 16 bits si le degré atteint ou dépasse trois. Aussi, la plupart du temps, un filtre récursif est construit par mise en série de cellules du premier et second ordre.
Nous admettrons dans ce qui suit que la transformée en z d’un produit de fonctions de transfert en p du premier et second ordre est le produit des transformées en z de chacune des fonctions en p.
Dans la très grande majorité des cas, un filtre récursif est obtenu par transposition d’un filtre analogique classique (passe-bas de Butterworth, Tchebytchev, etc.) (cf. ).
Il n’est pas possible de faire correspondre exactement une fonction de transfert en z à une fraction rationnelle en p (cf. ). Il n’existe donc pas de méthodes exactes pour déterminer la fonction en z ayant les mêmes propriétés qu’un filtre analogique, mais seulement des méthodes approchées.
1.1 Méthode de transposition des pôles par équivalence de la dérivation
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Pour les systèmes numériques la différentielle n’existe pas. Elle est remplacée par une différence finie :
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - MAX (J.) - Méthodes et Techniques de traitement du signal - . Tomes 1 et 2, Masson (1985).
-
(2) - KUNT (M.) - Traitement numérique du signal - . Traité d’électricité École polytechnique de Lausanne, Éditions Georgi (1980).
-
(3) - de COULOMB (F.) - Théorie et traitement des signaux - . Traité d’électricité École polytechnique de Lausanne, Éditions Georgi (1984).
-
(4) - BELLANGER (M.) - Traitement numérique du signal - . Masson (1985).
-
(5) - BELLANGER (M.) - Analyse des signaux et filtrage numérique adaptatif - . Masson (1989).
-
(6) - FONDANECHE (P.), GILBERTAS (P.) - Filtres numériques - . Masson (1981).
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