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Auteur(s)
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Jacques POIRIER : Ingénieur de l’École Centrale de Paris – Docteur-Ingénieur - Chargé de mission auprès des Secrétaires Perpétuels de l’Académie des Sciences - Conseiller du Directeur des Réacteurs Nucléaires du Commissariat à l’Énergie Atomique - Chargé de cours au Conservatoire National des Arts et Métiers
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Cet article fait suite aux articles Processus aléatoires et Fonctions aléatoires , auxquels le lecteur peut se reporter pour les définitions fondamentales.
Les exemples qui illustrent le présent article nécessitent la consultation de tables et d’abaques que le lecteur trouvera dans l’article Tables statistiques .
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4. La loi de Gauss est aussi une loi « exacte »
Il ne faudrait pas croire que la loi de Gauss ne peut être appliquée que lorsque les résultats de mesure sont très nombreux, comme dans l’exemple précédent. Il existe beaucoup de cas où les résultats de mesure sont effectivement distribués selon une loi de Gauss. Alors, un nombre limité de valeurs numériques permettent d’estimer la tendance centrale et la dispersion (cf. article Estimateurs et tests d’hypothèses ). C’est notamment le cas lorsque le résultat de mesure fait intervenir, le plus souvent indirectement, un grand nombre de paramètres élémentaires.
La mesure de la limite d’élasticité d’un acier d’une nuance donnée, telle la nuance AFNOR 40 CDV 20, fait en réalité intervenir les compositions individuelles de tous les éléments d’addition et de toutes les impuretés. Parmi celles‐ci figurent les éléments de calmage. La carte d’identité chimique d’un tel acier comporte une bonne dizaine d’éléments en plus du fer :
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du manganèse, contenu dès l’origine dans le minerai de fer, qui est resté associé au fer dans la fonte de haut fourneau ;
-
de petites quantités de silicium, d’aluminium et des autres éléments utilisés à l’aciérie ;
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de petites quantités de soufre et de phosphore, le plus souvent indésirables mais pas toujours totalement évitées ;
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et les vrais éléments d’addition, chrome, molybdène, vanadium.
Une justification théorique peut être trouvée dans les théorèmes de statistique, en particulier dans celui de la limite centrale (Central Limit Theorem en langue anglaise, souvent traduit littéralement par « théorème central limite »). Il exprime que, si X 1 , X 2 ,…, X n sont des variables aléatoires indépendantes dont la distribution admet une espérance mathématique µ et une variance σ 2, la moyenne arithmétique
admet une distribution normale (loi de Gauss) lorsque n est assez grand. Son espérance mathématique...
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