Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
Auteur(s)
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Pierre BORNE : Ingénieur IDN - Docteur en automatique, docteur ès sciences - Professeur d’automatique à l’École centrale de Lille , Fellow IEEE
-
Frédéric ROTELLA : Ingénieur IDN - Docteur ingénieur, docteur ès sciences - Professeur d’automatique à l’École nationale d’ingénieurs de Tarbes
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Lire l’articleINTRODUCTION
Le problème général de la détermination d’une commande optimale d’un processus peut se résumer comme suit :
Un processus étant donné et défini par son modèle, trouver parmi les commandes admissibles celle qui permet à la fois :
-
de vérifier des conditions initiales et finales données ;
-
de satisfaire diverses contraintes imposées ;
-
d’optimiser un critère choisi.
Cette définition appelle quelques commentaires :
-
toute recherche de commande, et a fortiori de commande optimale, nécessite la manipulation d’expressions mathématiques et, en particulier de celles caractérisant l’évolution du processus, c’est-à-dire de son modèle. Le choix du modèle s’avère donc primordial. Trop simple, il ne caractérisera pas suffisamment bien le processus, et inutilement sophistiqué, il conduira à des calculs très complexes ;
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la commande est en général soumise à diverses contraintes liées à sa réalisation (accélération limitée, vitesse de montée en puissance bornée, débit borné, discontinuités exclues, réservoir de capacité limitée...) elle-même liée au matériel disponible pour la mise en œuvre ;
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les variables caractéristiques du processus peuvent être soumises à diverses contraintes liées aux saturations, à la sécurité, à la construction, au confort, au coût... ;
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les états initiaux et finaux du processus peuvent également être soumis à diverses contraintes liées aux conditions de départ et à l’objectif à atteindre. Par exemple un hélicoptère décollant d’un bateau pour atterrir sur un autre, tous deux en déplacement ;
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le critère à optimiser doit correspondre à l’expression d’un choix étudié avec soin, il peut être lié aux valeurs de l’état et de la commande pris à des instants donnés, lié à une intégrale d’une fonction de ces variables sur un intervalle de temps fixé ou non, ou les deux à la fois ;
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l’existence d’une commande satisfaisant un objectif donné suppose que le processus est commandable, hypothèse qui sera faite implicitement de façon systématique.
Nous nous limiterons, dans l’étude qui suit, au cas des systèmes à état continu correspondant aux processus physiques. Afin de ne pas alourdir le texte, seuls les résultats fondamentaux les plus utilisés en pratique sont présentés.
Le texte qui suit est très largement inspiré de l’ouvrage « Commande et optimisation des processus » par Pierre BORNE, Geneviève DAUPHIN-TANGUY, Jean-Pierre RICHARD, Frédéric ROTELLA et Irène ZAMBETTAKIS (Collection Méthodes et Pratiques de l’Ingénieur, volume 1, Technip, 1990) ainsi que des cours dispensés par les auteurs dans divers établissements d’enseignement supérieur, écoles d’ingénieurs et universités.
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Exemples d’applications pratiques importantes
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3. Détermination de la commande optimale. Principe du maximum
3.1 Équations canoniques de Hamilton
Afin de simplifier la présentation des résultats, nous allons utiliser une quantité, appelée hamiltonien du système, définie par la relation :
mettant en œuvre à la fois le scalaire r utilisé dans le critère à minimiser [3] et le vecteur f caractérisant l’état du système [1].
Le vecteur λ(t ) appelé vecteur adjoint constitue une variable intermédiaire dont l’introduction permet de simplifier les calculs.
En notant Vα la dérivée partielle première d’une fonction V par rapport au vecteur α , les équations canoniques de Hamilton s’écrivent :
Cette dernière relation permettant de définir le vecteur adjoint λ.
On peut alors écrire le principe du maximum sous la forme simplifiée :
La commande optimale u * est celle qui maximise le hamiltonien, les contraintes et les conditions terminales étant satisfaites.
on peut montrer que, dans le cas stationnaire, le maximum du hamiltonien est constant.
3.2 Conditions de transversalité
Elles explicitent en fait les conditions terminales ...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ASTRÖM (K.J.) - Introduction to stochastic control theory, - Academic Press (1970).
-
(2) - BORNE (P.), DAUPHIN-TANGUY (G.), RICHARD (J.P.), ROTELLA (F.), ZAMBETTAKIS (I.) - Commande et optimisation des processus, - Technip (1990).
-
(3) - BORNE (P.), DAUPHIN-TANGUY (G.), RICHARD (J.P.), ROTELLA (F.), ZAMBETTAKIS (I.) - Analyse et régulation des processus industriels. Tome 1 Régulation continue, - Technip (1993).
-
(4) - DOYLE (J.C.) - Guaranteed margins for LQG regulators, - IEEE Trans. Automatic Control, août 1978.
-
(5) - De LARMINAT (P.) - Automatique, - Hermès (1993).
-
(6) - SAFONOV (M.G.), ATHANS (M.) - Gain and phase margins for multiloop LQG regulators, - IEEE Trans. Automatic Control, avril 1977.
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