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En anglais
RÉSUMÉ
Dans cet article, on décrit de manière analytique les dimensions du contact et l’état de contraintes des contacts dits hertziens, c’est-à-dire des contacts ponctuels ou linéiques entre solides déformables soumis à des chargements normaux. En première partie, on présente les hypothèses et définitions générales, puis on donne les dimensions des contacts ainsi que la distribution de pression associée. La deuxième partie est dédiée à l’étude des contraintes en surface et en profondeur. La troisième partie aborde qualitativement l’effet d’un effort tangentiel.
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In this article, the contact dimensions and related stress distributions of hertzian contacts are described in an analytical way. Hertzian contacts are defined as point or linear contacts between deformable solids subjected to normal loadings. In the first part, we present the assumptions and general definitions, then we give the dimensions of the contacts as well as the associated pressure distribution. The second part is dedicated to the study of surface and in-depth stresses. The third part qualitatively approaches the effect of a tangential force.
Auteur(s)
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Tony DA SILVA BOTELHO : Professeur des universités - Institut Supérieur de Mécanique de Paris (ISAE-Supméca), Paris, France
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Muriel QUILLIEN : Maître de conférences - Institut Supérieur de Mécanique de Paris (ISAE-Supméca), Paris, France
-
Isabelle LEMAIRE CARON : Maître de conférences - Institut Supérieur de Mécanique de Paris (ISAE-Supméca), Paris, France
-
Geneviève INGLEBERT : Retraitée, ancienne Professeur des universités - Institut Supérieur de Mécanique de Paris (ISAE-Supméca), Paris, France
INTRODUCTION
Lorsque deux solides aux frontières courbes entrent en contact, ils définissent un plan tangent commun appelé plan de contact. La famille des contacts hertziens correspond à des contacts dont le premier contact dans ce plan est, soit un point (contact ponctuel), soit une ligne (contact linéique). Heinrich Rudolf Hertz en a proposé les premiers éléments de solution entre 1881 et 1895.
Sous l'effet d'une force normale au plan tangent commun aux deux pièces, une surface de contact se crée à travers laquelle les efforts sont transmis d'une pièce à l'autre. Il s’agit d’une ellipse pour la famille des contacts ponctuels et d’un rectangle allongé pour la famille des contacts linéiques. Ces efforts localisés génèrent une répartition spécifique de contraintes dans la région du contact qui peut entraîner des déformations permanentes ou des endommagements ; il est important de pouvoir les prévoir.
L'application de la théorie de Hertz à ce contact permet de prévoir la forme et les dimensions de la surface de contact, la répartition des contraintes en surface et en sous-couche au voisinage du contact ; on peut ainsi déterminer dans chacun des solides la zone la plus sollicitée et choisir le matériau ou les traitements de surface ou revêtements adaptés.
Pour mener à bien une étude, il est nécessaire de connaître les informations suivantes :
-
les géométries des deux pièces au voisinage du contact (courbures) ;
-
leur positionnement relatif ;
-
l’effort de contact normal au plan tangent commun ;
-
les propriétés d'élasticité des deux solides (module de Young et coefficient de Poisson) des matériaux en contact.
Pour le dimensionnement, les limites d'élasticité, de rupture ou de fatigue pourront être nécessaires.
Dans cet article, on abordera dans un premier temps les hypothèses des contacts hertziens et la définition des grandeurs géométriques et mécaniques décrivant ces contacts. On présentera ensuite la solution du cas général du contact ponctuel et son application au contact particulier sphère/plan, puis la solution du cas général du contact linéique cylindre/cylindre à axes parallèles. Dans une seconde partie, l’état de contraintes en surface et en profondeur est décrit à l’aide de formules analytiques. Les principes de dimensionnement/choix des matériaux en sont déduits. Enfin, on abordera qualitativement l’effet d’un effort tangentiel ajouté au chargement normal.
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MOTS-CLÉS
point de Hertz effort tangentiel distribution des contraintes de contact chargement normal
KEYWORDS
hertzian point | tangential force | contact stresses distribution | normal loading
VERSIONS
- Version archivée 1 de sept. 2011 par Geneviève INGLEBERT, Tony DA SILVA BOTELHO, Isabelle LEMAIRE CARON
DOI (Digital Object Identifier)
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Effets qualitatifs d'une composante tangentielle
En anglais
2. Étude des contraintes
La répartition de pression en surface génère des efforts de cohésion dans les deux solides qui sont évalués à partir du tenseur de contraintes. Ce tenseur est proportionnel à la pression hertzienne p 0, pression maximale au centre du contact, donc à la racine cubique de la force appliquée (racine carrée dans le cas du contact linéique). Par ailleurs, ce tenseur n'est fonction que des dimensions de l'ellipse de contact et des coefficients de Poisson νi des matériaux considérés. La distribution des contraintes est fortement non linéaire : les contraintes principales ne sont pas proportionnelles entre elles et les directions principales associées sont orientées en fonction de la position (X, Y, z) du point considéré.
Pour l'étude du tenseur des contraintes, on définit :
-
l’élancement de l'ellipse de contact
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; -
les contraintes normées par la pression hertzienne p ;
-
les coordonnées réduites
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;
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;
![]()
.
;
;
;
.2.1 Définition du point de Hertz
Pour s’assurer que le matériau travaille bien en élasticité, il convient d’utiliser un critère d’élasticité tel que celui de von Mises (M) ou de Tresca (T) (cf. § 1.1.2).
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Étude des contraintes
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - HERTZ (H.) - Uber die Berührung fester elastischer Körper. - J. Für Reine und Angew. Math. 92, p. 156-171 (1881).
-
(2) - BOUSSINESQ (J.) - Application des potentiels à l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques. - Réédition Blanchard (1969).
-
(3) - JOHNSON (K.L.) - Contact Mechanics. - Cambridge University Press (Reprinted 1989).
-
(4) - FOULON (M.), REY (A.) - Sur les contacts ponctuels. - Revue française de Mécanique n° 4, p. 223-233 (1985).
-
(5) - HUBER (M.T.) - Zur Theorie der Berührung fester elastischer Körper. - Annalen der Physik 319(6), p. 153-163 (1904).
-
(6) - FESSLER (H.), OLLERTON (L.) - Contact stresses in toroids...
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