Statique – Concepts avancés
Roulements à billes – Calculs - Pression de Hertz et frottement

Les formulaires des catalogues de roulements permettent en général de calculer la capacité de charge statique et la durée de vie à l'aide de formules simplifiées et de quelques abaques. Les notions fondamentales pour un calcul rapide approché sont présentées dans l’article [BM 5 371]. Les concepts avancés qui conduisent au calcul exact de la tenue statique des roulements à billes sont développés dans cet article.

Connaissant la charge axiale et la charge radiale qui agissent sur un roulement, la distribution de la charge sur les billes s’exprime à l’aide d’intégrales à un paramètre, dont le paramètre est le facteur de distribution de charge. Ces intégrales n’ont pas de solution analytique, mais leurs valeurs numériques sont tabulées. On en déduit l’effort exercé sur chaque bille. La solution simplifiée de Hamrock et Anderson permet alors de calculer la pression de Hertz maximale engendrée au centre du contact bille/piste.

Le cas de l’appariement de deux roulements montés en O ou en X avec une précharge rigide mérite une attention particulière, car on utilise alors des roulements de précision, et le calcul exact des efforts et de la durée de vie devient nécessaire. On calcule d’abord l’effort radial exercé sur chaque roulement à partir du torseur d’efforts exercé sur l’appariement. Cependant, cet effort radial engendre un effort axial induit difficile à calculer, car il dépend du nombre de billes en charge résultant de l’équilibre statique de l’appariement, et devant être calculé pour chacun des deux roulements. Pour cela, l’auteur de cet article propose une méthode de résolution originale, basée sur le recours à deux fonctions auxiliaires (nommées φ(ε) et ψ(ε) par l’auteur). On obtient un système de deux équations non linéaires dont les inconnues sont les facteurs de distribution de charge. Une fois ce système résolu, les efforts axiaux induits s’en déduisent aisément.

Une autre difficulté du calcul des roulements préchargés est la variation de l’angle de contact avec la charge, pour cette raison les calculs sont habituellement effectués sur ordinateur. Cet article propose une solution analytique, obtenue à partir d’un développement limité, ce qui permet de calculer le nouvel angle en résolvant un trinôme du second degré.

La dernière section donne des formules qui permettent d’estimer le couple de frottement des divers types de roulements à billes.

Le lecteur trouvera en fin d'article un tableau des notations et des sigles utilisés.