Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Cet article donne les éléments de base pour les problématiques liées aux maillages. On s’intéresse à la définition même d’un maillage. Grâce à la notion de métrique, le point de vue géométrique est remplacé par un point de vue algébrique et analytique permettant d’unifier les notions de maillage, d'adaptation de maillages et de remaillages. Dans ce nouveau concept, un maillage n’est qu’un espace riemannien dans lequel les métriques caractérisent les éléments.
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This article gives the basics for finite element problems related to meshes. We are interested in the definition of a mesh. Thanks to the notion of metric, the geometric point of view is replaced by an algebraic and analytical point of view allowing to unify the notions of mesh, mesh adaptation and remeshing. In this new concept, a mesh is only a Riemannian space in which the metrics characterize the elements.
Auteur(s)
-
Abel CHEROUAT : Professeur des Universités - Unité de Recherche Génération Automatique de Maillage et Méthodes Avancées Troyes (GAMMA3) Université de Technologie de Troyes, France
-
Houman BOROUCHAKI : Professeur des Universités - Unité de Recherche Génération Automatique de Maillage et Méthodes Avancées Troyes (GAMMA3) Université de Technologie de Troyes, France
-
Florian BLACHERE : Maître de Conférences - Unité de Recherche Génération Automatique de Maillage et Méthodes Avancées Troyes (GAMMA3) Université de Technologie de Troyes, France
INTRODUCTION
La méthode des éléments finis est un outil puissant pour la résolution numérique des équations aux dérivées partielles intervenant dans la modélisation de la plupart des phénomènes physiques [BM 5 015] [M 3 185]. Cette méthode repose en grande partie sur la discrétisation spatiale, appelée maillage du domaine de calcul. L’adaptation des maillages à la physique des problèmes considérés permet, en outre, d’obtenir une meilleure précision des solutions calculées. Ainsi, il est possible de bien capter les courbures géométriques et les évolutions rapides de la solution dans les zones de fortes variations tout en conservant un nombre acceptable de degrés de liberté . Par ailleurs, pour les phénomènes physiques engendrant des grandes déformations géométriques du domaine de calcul, un maillage fixe (le maillage initial) ne peut être représentatif d’une géométrie déformable [BM 5 015] [AF 1 378]. Il est alors nécessaire de recourir aux remaillages du domaine en cours du calcul.
De manière générale, un maillage est caractérisé par la nature de ses éléments. La nature d’un élément est liée à sa taille et aussi à son orientation (qui, en quelque sorte, permet de caractériser une propriété directionnelle ou une anisotropie). Ces notions de taille et d’orientation sont rassemblées dans ce que l’on appelle, de façon générale, une métrique . En considérant cette nouvelle notion, un élément de maillage (élément géométrique) peut être assimilé à une métrique (élément algébrique) caractéristique de l’élément, appelée métrique d’élément. Ainsi, un maillage peut être vu comme un champ de métriques ou encore un espace riemannien. Le point de vue géométrique lié au maillage peut être remplacé par un point de vue algébrique et analytique lié à la métrique. Les problématiques de maillages, adaptation de maillages et de remaillages sont ainsi unifiées dans la définition de l’espace riemannien sous-jacent. Cet article décrit les bases théoriques de ce nouveau point de vue. On commence par rappeler la notion de métrique et sa généralisation. Puis, on introduit la notion de métrique d’un élément et aussi la notion de qualité en forme d’élément vue à travers sa métrique. Ensuite, on définit un maillage comme étant la donnée d’un espace riemannien. Enfin, on illustre ces notions sur des exemples concrets de maillages plans, surfaciques et volumiques.
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MOTS-CLÉS
KEYWORDS
finite elements | Metrics | Riemannian space | Mesh
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Présentation
Métrique d’éléments
En anglais
1. Notion de métrique
1.1 Introduction
La métrique représente la mesure de l’unité dans toutes les directions. La métrique usuelle est la métrique euclidienne pour laquelle la mesure de l’unité dans toutes les directions est égale à un. Pour pouvoir définir une métrique, on doit définir la notion de longueur ou, plus précisément, la norme d’un vecteur. Cette dernière est liée à la notion du produit scalaire de deux vecteurs. Le produit scalaire usuel est associé au théorème de Pythagore :
( 1 )
qui caractérise un triangle rectangle. Cette relation est en effet celle qui définit la norme au carré d’un vecteur.
Soient u = (ui ) et v = (vi ) deux vecteurs de
, le produit scalaire de u et de v noté
est défini comme :
( 2 )
en considérant les vecteurs comme des matrices à une colonne, où uT est la transposée du vecteur u. Avec cette définition (la norme de u) peut être définie comme :
( 3 )
La norme ainsi définie est la norme euclidienne ou la norme usuelle de u, norme liée à la relation de Pythagore. La relation
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Notion de métrique
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - CIARLET (P.G.) - Finite Element Method for Elliptic Problems. - Elsevier Science et Technology Books (1978).
-
(2) - ZIENKIEWICZ (O.C.), TAYLOR (R.L.) - Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. - 7th Edition, Elsevier (2013).
-
(3) - BATHE (K.J.) - Finite Element Procedures. - Prentice Hall (1996).
-
(4) - CASTRO-DIAZ (M.J.), HECHT (F.), -MOHAMMADI (B.), PIRONNEAU (O.) - Anisotropic unstructured mesh adaption for flow simulations. - In : International Journal for Numerical Methods in Fluids, 25(4), p. 475-491 (1997).
-
(5) - BOROUCHAKI (H.), GEORGE (P.L.), HECHT (F.), LAUG (P.), SALTEL (E.) - Delaunay mesh generation governed by metric specifications. Part I. Algorithms. - In : Finite Elements in Analysis and Design, 25(1-2), p. 61-83 (1997).
-
(6) - HASSAN...
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